AzAZ09

$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)+2f(y) (1)$

thay x=y vào 1 :$f(2x)+f(0)=4f(x)$

thay $f(x)=0$ $x=y=0$ vào 1 :$f(x)=0$
=>$f(2x)=4f(x)$

thay x=2y vào 1:$f(3x)=9f(x)$===> dự đoán $f(nx)=n^2f(x)$ (n là số nguyên dương)

chứng minh điều này bằng quy nạp khá đơn giản
theo đó $f(1)=f(n.\frac{1}{n})=n^2f(1)\rightarrow f(\frac{1}{n})=\frac{f(1)}{n^2}$

             $f(m)=n^2(f(\frac{m}{n}))\rightarrow f(\frac{m}{n})=\frac{f(m)}{n^2}=\frac{m^2}{n^2}f(1)$

do đó $f(x)=ax^2$ với x thuộc Q(a>0)
chứng minh đơn giản 1 bước nữa ta có bài toán đúng với a thuộc R

cho $\left\{\begin{matrix} (n+2)|(a+bn) & & \\ n|a+b(n+2) & & \end{matrix}\right.$
tìm min a+b với a,b, là các số nguyên dương

cho $\left\{\begin{matrix} u_{1}=3,u_{2=11} & & \\ u_{n}=4u_{n-1}-u_{n-2} & & \end{matrix}\right.$

chứng minh với mọi n nguyên dương dãy đều phân tích được dưới dạng $a^{2}+2b^{2}$

Giải phương trình nghiệm nguyên :

$a^{2}+7b^{2}=3c^{2}+2cd+5d^{2}$

Mod. Chú ý tiêu đề.

Bài 1 là VMO 2012 rồi.
1.Xét Hiệu : $x_{n}-x_{n-1}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)-x_{n-1}=\frac{2((n+2)-(n-1)x_{n-1})}{3n}$

thử các giá trị đầu tiên , dẫn đến phỏng đoán dãy giảm thực sự.Do đó ta sẽ tìm cách chứng minh $x_{n}-x_{n-1}<0$

Hay $(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$ với mọi $n\geq 3$

xét n=3 bdt đúng
gs :$(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$$\Leftrightarrow x_{n-1}> \frac{n+2}{n-1}$
khi đó : $x_{n}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)>\frac{n+2}{3n}(\frac{n+2}{n-1}+2)=\frac{n+2}{n-1}> \frac{n+3}{n}$
do đó dãy đã cho là dãy giảm thực sự kể từ số hạng thứ 2.
ngoài ra theo đề bài nó bị chặn dưới ở 0.đặt $limx_{n}=a$

thay vào đề bài tính đc a=1

6.$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x).f(y) (1)$

+)Nếu f cần tìm là hàm hằng $\rightarrow f(x)=a (a=const)$ 
thay vào 1 ta có : $2a=3a\rightarrow a=0 (t/m)$
+)Nếu f cần tìm không phải là hàm hằng f(x) khác 0 

thay x=y=0 vào (1): $f(0)=0$

thay y=1 vào (1): $f(x)+f(x+1)=f(x)f(1)+f(x)+f(1)\rightarrow f(x+1)=f(1)(f(x)+1) (2)$

Nếu f(1)=0 ,từ (2) ta có f(x+1)=0 vô lý do f không là hàm hằng
do đó f(1) khác 0 
thay x=-1 vào (2) : $f(1)(f(-1)+1)=0\rightarrow f(-1)=-1$

thay x=y=-1 vào (1) :$f(1)=f^{2}(-1)+2f(-1)-f(-2)=-1-f(-2)$

thay x=-2 vào (2) : $-(f(1))^{2}=-1\rightarrow f(1)=1 orf(1)=-1$

-) Nếu f(1)=-1 
thay y=-1 vào (1) :$f(-x)=-(1+f(x-1))=f(1)(1+f(x-1))=f(x)$

thay x=y vào (1): $f^{2}(x)=f(x^{2})-1f(x)+f(2x)(3)$ 

thay y=-x vào (1) : $f(x^{2})=f^{2}(x)+2f(x)$ thay vào (3) $\Rightarrow f(2x)=0$ vô lý do f không là hàm hằng 
-) Nếu f(1)=1 ,thay vào (2) : $f(x+1)=f(x)+1 $

đến đây là khá dẽ dàng rồi

ta thấy : $f(x)-f(y)=a(x^{3}-y^{3})+b(x^{2}-y^{2})+c(x-y)=(x-y)[a(x^{2}+xy+y^{2})+b(x+y)+c]$ chia hết cho $x-y$ 
do đó f(7)-f(12) chia hết cho 5 nên là hợp số ?

Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn: 

$f(xf(y))+f(yf(x))=2xy;\forall x,y \in R$

$f(xf(y)) + f(y(f(x)) = 2xy (1)$

thay $x=y=0$ vào (1) ta được : $f(0)=0$.

Thay $x=y$ vào (1) ta được : $f(xf(x)) = x^{2}$ $(2)$
giả sử $f(a) = f(b)$ , ta chứng minh $a=b$
thật vậy ,nếu $f(a) = f(b)$ ,ta có : $\left\{\begin{matrix}af(a)=af(b) && \\bf(a)=bf(b) & & \end{matrix}\right.$ 

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}f(af(a))=f(af(b)) & & \\f(bf(a))=f(bf(b)) & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a^{2}=f(af(b)) & & \\ b^{2}=f(bf(a)) & & \end{matrix}\right.$ ( do (2))

cộng lại và chú ý từ (1) suy đc a = b .do đó f là hàm đơn ánh

thay $x=1$ vào (2) ta có : $f(f(1))=1\rightarrow f(1)f(f(1))=1 \rightarrow f(f(1).f(f(1)))=f(1)$

do (2) suy ra $(f(1))^{2} =1 \rightarrow \left\{\begin{matrix}f(1)=1 & & \\ f(1)=-1 & & \end{matrix}\right.$

 nếu $f(1)=1$ thay y=1 vào (1) ta được : $f(x)+f(f(x)) =2x\Leftrightarrow f(f(x))=2x-f(x)=x+x-f(x)=x+z$ (3) với $z=x-f(x)$ (4)

từ (4) : $f(x-z)=f(f(x)) =x+z \rightarrow f(x+z)=f(f(x-z))=x-z+z=x \rightarrow f(x)=f(f(x+z))=x+2z$ (5)
từ (4),(5) suy ra z=0 suy ra f(x)=x(t/m)
nếu $f(1)=-1$ làm tượng tự suy ra $f(x)=-x$ (t/m)
vậy các hàm số t/m là $f(x)=x ,f(x)=-x ,$