Đến nội dung

hippotas

hippotas

Đăng ký: 09-08-2013
Offline Đăng nhập: 30-10-2014 - 17:02
-----

#530973 Đề thi chọn đội tuyển HSG QG Hà Nội năm học 2014-2015

Gửi bởi hippotas trong 28-10-2014 - 21:09

 p là 1 ước nguyên tố của n

Rõ ràng  $2^{p}-1$ tồn 1 ước nguyên tố 4s-1

$\Rightarrow m^{2}+9\equiv 0 (mod 4s-1)$

+Nếu m không chia hết cho 4s-1, áp dụng định lí Fermat ta có điều vô lí.

+$m\vdots 4s-1\Rightarrow 3\vdots 4s-1\Rightarrow 4s-1=3$             

Nên p=2, nếu n có 1ước lẻ ta có điều vô lí

Vậy  n=$2^{k}$

còn đoạn chứng minh luôn tồn tại m để m2+9 chia hết cho 2n-1 nữa bạn :D 




#456268 Tìm giá trị lớn nhất của M=$a^3+b^3+c^3$

Gửi bởi hippotas trong 08-10-2013 - 23:05

$M\leqslant (a+b)^3+c^3 = (3-c)^3+c^3= 27-27c+9c^2$

ta cần cm 9 - $9 \geq 27-9c+c^2$ tương đương với $18 + 9c -9c^2 \geqslant 0 => 9(c+1)(2-c)\geq 0$

 

Ta có $a(4-a^{2})\geq 0$ nên $\sum 4a=12\geq \sum a^{3}=M$

Do đó $Max M=12$ 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a(4-a^{2})=b(4-b^{2})=c(4-c^{2})=0$

Giải hệ này bạn tìm được $a,b,c$ ( xét hơi nhiều TH tý )

max phải là 9 chứ bạn :D dấu = khi a = 0 b=1 và c=2 và hoán vị của nó 
dấu = của bạn khi a,b,c có thể = 2 hoặc 0 cộng lại k thể ra 3 đc 




#448767 Chứng minh rằng $\frac{c^3}{bc}+\frac...

Gửi bởi hippotas trong 08-09-2013 - 10:50

Áp dụng bdt cauchy cho 3 số 

$\frac{a^{3}}{bc} + b +c \geqslant 3a$
làm tương tự vs 2 cái còn lại ta có đpcm
à mà đề bài phải là $\frac{a^{3}}{bc}  chứ @@




#447312 $abc \geq \frac{a+b+c}{3}$

Gửi bởi hippotas trong 02-09-2013 - 18:04

điều phải cm tương đương vs 

$\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc}+ \frac{1}{ca} \leq \sum \frac{1}{a^{3}}$

áp dụng cauchy cho 3 số dương ta có 

$\frac{1}{a^{3}} + \frac{1}{b^{3}} + 1\geq \frac{3}{ab}$

tương tự như vậy rồi + vào ta có đpcm chú ý $\sum \frac{1}{a^{3}}=3$