$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geqslant 0$
$\Leftrightarrow$ 3x2 + 3y2 + 3z2 + 3 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2zx + 2x + 2y + 2z
$\Leftrightarrow$ 12 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2xz + 2x + 2y +2z
$\Leftrightarrow$ 6 $\geqslant$ xy + yz + zx + x + y +z