khanh2711999

Có ai biết bổ đề chặn tích của anh Võ Quốc Bá Cẩn thì chỉ cho mình với. Có tài liêu thì càng tốt. 

$(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}+(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2} \geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ 3x² + 3y² + 3z² + 3 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2zx + 2x + 2y + 2z

$\Leftrightarrow$ 12 $\geqslant$ 2xy + 2yz + 2xz + 2x + 2y +2z

$\Leftrightarrow$ 6 $\geqslant$ xy + yz + zx + x + y +z

x+1 $\vdots$ y => x+1 $\geqslant$ y                                        (1)

y+1 $\vdots$ x => y+1 $\geqslant$ x => y$\geqslant$ x-1        (2)

(1)(2) => x+1 $\geqslant$ y $\geqslant$ x-1

 

+) xét y= x+1 => x+2 $\vdots$ x => 2$\vdots$ x

=> x =1 thì y = 2

hoặc x=2 thì y=3

 

+) y=x 

=> x+1 $\vdots$ x => x=1 => y=1

 

+) y= x-1

=> x+1 $\vdots$ x-1 => 2$\vdots$ x-1 

=> x=2 thì y=1

hoặc x=3 thi y=2

áp dụng AM=GM$\frac{1}{\sqrt[3]{a+3b}}\geqslant \frac{4}{a+3b+1+1+1}$

tương tự:

$\frac{1}{\sqrt[3]{b+3c}}\geqslant \frac{4}{b+3c+1+1+1}$

$\frac{1}{\sqrt[3]{c+3a}}\geqslant \frac{4}{c+3a+1+1+1}$

AD Cauchy Schwarz cho 3 cái trên => đpcm

$\frac{a^{2}}{a+b}+ \frac{a+b}{4}$ $\geqslant a$$\geqslant a$

tương tự $\frac{b^{2}}{b+c}+ \frac{b+c}{4}\geqslant b$

$\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{a+c}{4}\geqslant c$

cộng lại, trừ đi => ra $\frac{c^{2}}{a+c}+ \frac{b^{2}}{b+c}+\frac{c^{2}}{c+a}\geqslant \frac{1}{2}$

 

bạn tự vẽ hình

gọi E là trung điểm BC

      F là trung điểm AD

     AB cắt CD tại K

theo bổ đề hình thang $\Rightarrow$ K,E,F thẳng hàng 

từ E kẻ EN // AB

$\Rightarrow$ ABEN là hình bình hành

$\Rightarrow$ BE=AN ; góc A = góc ENF ( đồng vị)  (1)

góc A + góc D = 90 độ

$\Rightarrow$ góc AKD = 90   

$\Rightarrow$ tam giác AKD vuông  tại K có đường trung tuyến KF

$\Rightarrow$ góc A = góc AKF   (2)

NE// AB ( cách vẽ) $\Rightarrow$ góc AKF = góc NEF    (3)

(1)(2)(3) $\Rightarrow$ góc ENF = góc NEF

$\Rightarrow$ tam giác ENF cân 

$\Rightarrow$ FN= FE       (4)

FN = FA - NA

     =  FA - BE

     = $\frac{AD-BC}{2}$   (5)

(4) VÀ (5) suy ra đpcm

phương trình tương đương

 

( x² + 8x + 12)( x² + 7x +12) = 420x²

đặt x² + 7,5x + 12 = k

phương trình $\Leftrightarrow$  k² - 0,25x² = 420x²

$\Leftrightarrow$  k² = 420,25x²

$\Leftrightarrow$  th1: k= 20,5x

suy ra:  x² + 7,5x + 12 = 20,5x

$\Leftrightarrow$  x=1 hoặc x=12

k= -20,5x

$\Leftrightarrow$  x² + 7,5x + 12= -20,5x

$\Leftrightarrow$ x=$-14+2\sqrt{46}$  hoặc x= $-14-2\sqrt{46}$

2) phương trình tương đương 

$\sqrt{3x^{2}-7x+3}$ - $\sqrt{3x^{2}-5x-1}$ = $\sqrt{x^{2}-2}-\sqrt{x^{2}-3x+4}$

giả sử vế trái $\geqslant 0$

suy ra 3x² - 7x +3 $\geqslant$ 3x² - 5x - 1

suy ra 2$\geqslant$ x  (1)

vế trái $\geqslant$ => VP $\geqslant$ 0

=>x² - 2 $\geqslant$ x² - 3x +4 

=> x $\geqslant$ 2   (2)

(1)(2) => x=2

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{2x+y+z}$ ( hệ quả của BĐT Cô-Si)

tương tự

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+2y+z}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geqslant \frac{16}{x+y+2z}$

$\Rightarrow$ $\frac{16}{2x+y+z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\leqslant 16$

 

$\Rightarrow đpcm$$\Rightarrow đpcm$

a)

 đặt;

a + b - c = x

b + c - a = y

c + a - b = z

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                       c = $\frac{x+y}{2}$

 

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh:

           $xyz \leqslant \frac{x+y}{2}.\frac{y+z}{2}.\frac{z+x}{2}$

 

ta có $\sqrt{xy}\leqslant \frac{x+y}{2}$

          $\sqrt{yz}\leqslant \frac{y+z}{2}$

          $\sqrt{xz}\leqslant \frac{x+z}{2}$

Nhân vào $\Rightarrow$ ta có đpcm

 

b) Đặt

 b + c -a = x

a + c -b = y

a + b -c = z

 

$\Rightarrow$ a = $\frac{y+z}{2}$

                       b = $\frac{x+z}{2}$

                      c = $\frac{x+y}{2}$

$\Rightarrow$ ta cần chứng minh :

 

 $\frac{y+z}{2x}+\frac{x+y}{2z}+\frac{z+x}{2y}\geqslant 3$

$\Leftrightarrow \frac{y+z}{x}+\frac{x+y}{z}+\frac{z+x}{y}\geqslant 6$

$\Leftrightarrow \frac{x+y+z}{x}+\frac{x+y+z}{z}+\frac{z+y+x}{y}\geqslant 9$

$\Leftrightarrow (x+y+z).(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geqslant 9$

 

BĐT trên luôn đúng suy ra có điều phải chứng minh

 

 

 

phương trình có dạng:

 

$x^{4}+x^{3}+x^{2}-9x+6 = -1$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^{3}+2x^{2}+3x-6)= -1$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x^{2}+3x+6)=-1$

$\Leftrightarrow$ phương trình vô nghiệm

câu 1

phương trình tương đương:

2$\sqrt{x^{2}+3}-x=\sqrt{8+2x-x^{2}}$

Bình phương cả 2 vế 

$\Leftrightarrow$ 4( x² + 3) - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ + x² = 8 + 2x - x²

$\Leftrightarrow$ 6x² - 4x$\sqrt{x^{2}+3}$ - 2x + 4 = 0

$\Leftrightarrow$ 3x² - x + 2 = 2x$\sqrt{x^{2}+3}$

bình phương cả 2 vế suy ra:

9x⁴ + x² + 4 - 6x³ - 4x + 12x² = 4x²( x² + 3)

$\Leftrightarrow$ 5x⁴ - 6x³ + x² - 4x + 4 = 0

$\Leftrightarrow$ ( x -1)²( 5x² + 4x + 4) = 0

$\Leftrightarrow$ x = 1 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 1}

tam giác ABC cân tại A

có phân giác BE,CD

 

+) Từ E kẻ tia Ex // BD

    Từ D kẻ tia  Dy // BE 

Ex cắt Dy tại F

$\Rightarrow$ BEFD là hình bình hành

$\Rightarrow$ DF = BE  (1)

                       góc DFE = góc DBE 

ta có BE = CD ( gt )   (2)

(1)(2) $\Rightarrow$ DF = CD 

         $\Rightarrow$ tam giác DFC cân tại D

$\Rightarrow$ góc DFC = góc DCF (3)

Gỉả sử góc B > góc C

$\Rightarrow$ góc EDC > góc DCB

$\Rightarrow$ góc DFE > góc DCB  (4)

$\Rightarrow$ góc EFC < góc ECF

$\Rightarrow$ EC > EF ( định lý góc và cạnh đối diện trong tam giác )

$\Rightarrow$ EC > BD

Xét tam giác BDC và tam giác CEB có:

          BC chung

          CD = BE ( gt)

          BD  < EC ( cmt)

$\Rightarrow$ tam giác BDC không bằng tam giác BEC 

                    $\Rightarrow$ góc C  > góc B ( trái vs giả sử)

$\Rightarrow$ tam giác ABC cân ( đpcm)

        

 

câu 2

$\sqrt{x^{2}+5x+6}+\sqrt{x^{2}+x-2}\geqslant \sqrt{3x^{2}+7x+2}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}\geqslant\sqrt{(x+2)(3x+1)}$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{(x+2)(x+3)}+\sqrt{(x+2)(x-1)}-\sqrt{(3x+1)(x+2)}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+2}(\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x+1})\geqslant 0$

TH1: $\sqrt{x+2}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ x = -2 ( thỏa mãn ĐKXĐ)

TH2: $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}-\sqrt{3x-1}\geqslant 0$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x+3}+\sqrt{x-1}\geqslant \sqrt{3x+1}$

$\Leftrightarrow$ $x+3+x-1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant3x+1$

$\Leftrightarrow$ $2x+2+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant 3x+1$

$\Leftrightarrow$ $1+2\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant x$

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{x^{2}+2x-3}\geqslant \frac{x-1}{2}$

$\Leftrightarrow$ $3x^{2}+10x-13=0$

$\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 1 ; $\frac{-13}{3}$ } ( thỏa mãn ĐKXĐ)

 

-$\sqrt{2-x}$ ( 3x + 5) - 5$\sqrt{2+x}$ = 0

$\Leftrightarrow$ $\sqrt{2-x}$( 3x + 5) = -5$\sqrt{2+x}$

$\Leftrightarrow$ ( 3x + 5)²( 2 -x ) = 25 ( 2 + x)

$\Leftrightarrow$ ( 9x² + 30x + 25 )( 2-x ) = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ 18x² + 60x + 50 - 9x³ - 30x² - 25x = 50 + 25x

$\Leftrightarrow$ -9x³ - 12x² + 10x = 0 

$\Leftrightarrow$ 9x³ + 12x² - 10x = 0

 $\Leftrightarrow$ x $\epsilon$ { 0 ; $\frac{-2-\sqrt{14}}{3}$ ; $\frac{-2+\sqrt{14}}{3}$ }