lanhmacluongbac

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y=\sqrt{4x-x^3}+\sqrt{x+x^3}$

P/s: Tốt nhất là có áp dụng Bunhia nhé ~

Cho a, b, c là ba số dương. CMR:

$\frac{a}{a+\sqrt{(a+b)(a+c)}}+\frac{b}{b+\sqrt{(b+c)(b+a)}}+\frac{c}{c+\sqrt{(c+a)(c+b)}}\leq 1$

1. Cho $a,b,c>0$ thoả mãn $2abc\geq ab^2+b+2c$. Tìm GTNN của $P=a+b+c$

2. Cho $x,y,z>0$ và $x\geq y\geq z$. Chứng minh: $\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\geq x^2+y^2+z^2$

 Làm cách nào cũng được, nhưng tốt nhất là mọi người giúp cách có sử dụng đạo hàm nhé =]]]

Đặt $T=\sinx+\sin2x+\sin3x+...+\sin nx $

$\Rightarrow2T\sin\frac{x}{2}=2(\sin\frac{x}{2}\sin x+ \sin\frac{x}{2}\sin2x+\sin\frac{x}{2}\sin3x+...+\sin\frac{x}{2}\sin nx)=\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}+\cos \frac{3x}{2}-\cos \frac{5x}{2}+\cos \frac{5x}{2}-\cos \frac{7x}{2}+...+\cos \frac{2n-1}{2}-\cos \frac{2n+1}{2}=\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{2n+1}{2}=2\sin (n-1)x\sin nx$

$\Rightarrow T=\frac{\sin (n-1)x\sin nx}{\sin \frac{x}{2}}$

$\tan 3x+\tan 2x-3\tan x=3$

$(16cos^{4}x -20cos^{2}x +5).(16cos^{4}5x -20cos^{2}5x +5)=1$

Ôi trời, mình không thấy là bạn đã sửa đề. Nếu đề như thế rồi, thì mọi việc sẽ đơn giản hơn:

Ta thấy $cosx=0$ và $cos5x=0$không là nghiệm

Nhân $cosx$ và $cos5x$ vào 2 vế ta có:

$PT \Leftrightarrow (16cos^{4}x -20cos^{2}x +5)cosx.(16cos^{4}5x -20cos^{2}5x +5)cos5x=cos5xcosx$

$\Leftrightarrow (16cos^{5}x -20cos^{3}x +5cosx).(16cos^{5}5x -20cos^{3}5x +5cos5x)=cos5xcosx$

$\Leftrightarrow cos5x.cos25x=cos5x.cosx$

$\Leftrightarrow cos5x(cos25x-cosx)=0$

$\Leftrightarrow sin24x.sin26x=0$

$\large \sqrt{x^{2}-3x+3}+\sqrt{x^{2}-3x+6}=3$

Đặt $\large \sqrt{x^{2}-3x+3}=a$ và $\sqrt{x^{2}-3x+6}=b$

Khi đó ta có hệ : $\left\{\begin{matrix}
a+b=3\\
b^2-a^2=3
\end{matrix}\right.$

Thế $(1)$ vào$(2)$ là được

$\sqrt{cos^{2}x - 2cosx + 5} + \sqrt{cos^{2}x + 4cosx + 8}$ = 5

$VT\Leftrightarrow \sqrt{(1-cosx)^2+2^2}+\sqrt{(cosx+2)^2+2^{2}}\geq \sqrt{(1-cosx+cosx+2)^2+(2+2)^2}=5=VP$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow 1-cosx=cosx+2\Leftrightarrow cosx=\frac{-1}{2}$

Thế là xong ~~

$sin3x - \sqrt{3}cosx = 2sin2x$

$PT\Leftrightarrow 3sinx-4sin^{3}x-\sqrt{3}cosx-4sinxcosx= 0$

$\Leftrightarrow sin(3-4sin^{2}x)-cosx\left ( \sqrt{3}+2sinx \right )=0$

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{3}+2sinx \right )\left [ sinx\left ( \sqrt{3}-2sinx \right )-cosx \right ]= 0$

Mong mọi người giúp em hệ đẳng cấp này ạ.

\begin{matrix} x^2+2xy-3y^2 =0\\ \ x \left | x \right |+y\left | y \right | =-2\end{matrix}

Xin cảm ơn!!!

Mình nghĩ bài này không quá khó đâu bạn ạ!

Mình chỉ xin nêu ra cách làm thôi nhé!

Pt đầu tiên được viết thành                            (x-y)(x+3y) = 0 => x=y hoặc x= -3y

Để giải hệ ta có thể xét 4 trường hợp về dấu của x và y

x>0, y>0 => $x^{2} + y{2} = -2$ (loại)

x>0, y<0 => $x^{2} - y^{2} = -2$

x<0,y<0 => $x^{2} + y^{2} = 2$

x<0, y>0 => $y^{2} - x^{2} = -2$

( Ở trường hợp mà x và y cùng dấu thì thế x = y vào pt 2 để giải )

( Ở các trường hợp mà x và y trái dấu ta thế x = -3y vào pt 2 để giải)

Mình không nghĩ là cần thiết phải chia cả 4 trường hợp ra như thế

$(1)\Leftrightarrow x=y$ hoặc $x=-3y$

$+) x=y \Rightarrow (2)\Leftrightarrow 2x\left | x \right |=-2$

Vì $VT=VP<0$$\Rightarrow x<0$

Khi đó $(2)\Leftrightarrow -x^{2}=-1\Leftrightarrow x=-1\Rightarrow y=-1$

$+)x=-3y\Rightarrow (2)\Leftrightarrow -3y\left | -3y \right |+y\left | y \right |=-2\Leftrightarrow -8y\left | y \right |=-2$

Tương tự trường hợp trên có thể suy ra $y>0$$\Rightarrow y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{-3}{2}$

Vậy ta có 2 nghiệm như trên.

Nếu bạn áp dụng Cosi ở đây, thì mình nghĩ phải là $\frac{\sum a\sqrt{3(1+b+c)}}{\sqrt{3}\sum a}\leq \frac{\sum a(b+c+4)}{2\sqrt{3}\sum a}$ mới đúng chứ

Như vậy thì $Max F=\sqrt{3}$

Giải bất phương trình sau

$\sqrt[3]{2x+1}+\sqrt[3]{6x+1}> \sqrt[3]{2x-1}$

$BPT\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1}+(\sqrt[3]{6x+1}-\sqrt[3]{2x-1})> 0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1}+\frac{4x+2}{\sqrt[3]{(6x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(6x+1)(2x-1)}+\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}}> 0$

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2x+1}(1+\frac{2\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}{\sqrt[3]{(6x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(6x+1)(2x-1)}+\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}})> 0$

Vì $1+\frac{2\sqrt[3]{(2x+1)^{2}}}{\sqrt[3]{(6x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(6x+1)(2x-1)}+\sqrt[3]{(2x-1)^{2}}}> 0$

$\Rightarrow \sqrt[3]{2x+1}> 0\Leftrightarrow x> -\frac{1}{2}$

$a)$ $\sqrt{x-\frac{1}{x}}+\sqrt{x^{2}-x}=2$

ĐK: $x\geq 1$ hoặc $-1\leq x\leq 0$

Khi đó: $PT\Leftrightarrow (\sqrt{x-\frac{1}{x}}-1)+(\sqrt{x^{2}-x}-1)=0\Leftrightarrow \frac{x-\frac{1}{x}-1}{\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1}+\frac{x^{2}-x-1}{\sqrt{x^{2}-x}+1}=0\Leftrightarrow (x^{2}-x-1)(\frac{1}{x(\sqrt{x-\frac{1}{x}}+1)}+\frac{1}{\sqrt{x^{2}-x}+1})=0$

Đến đây coi như xong

Bài 3:

Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{y+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-y-1}}=1\Leftrightarrow y+1=\sqrt{x}+\sqrt{x-y-1}$

$\Rightarrow y+1-\sqrt{x-y-1}=1+\sqrt{x-y-1}(=\sqrt{x})\Leftrightarrow y=2\sqrt{x-y-1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ y^{2}=4(x-y-1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x=\frac{(y+2)^{2}}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ \sqrt{x}=\frac{y+2}{2} \end{matrix}\right.(*)$

Lại có $(2)\Leftrightarrow (y+\sqrt{x})^{2}=y^{2}x\Leftrightarrow y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}(**)$

Thế $(*)$ vào$(**)$ ta có: $y+\frac{y+2}{2}=y.\frac{y+2}{2}\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=4$

Thấy nghiệm thỏa mãn ĐK. Vậy hệ có nghiệm $x=4$,$y=2$

Giải hệ phương trình:;

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}-\sqrt{x-y-1}=1\\y^2+x+2y\sqrt{x}-y^2x=0 \end{matrix}\right.$

Ta có $(1)\Leftrightarrow \frac{y+1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-y-1}}=1\Leftrightarrow y+1=\sqrt{x}+\sqrt{x-y-1}$

$\Rightarrow y+1-\sqrt{x-y-1}=1+\sqrt{x-y-1}(=\sqrt{x})\Leftrightarrow y=2\sqrt{x-y-1}\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ y^{2}=4(x-y-1) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ x=\frac{(y+2)^{2}}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y\geq 0\\ \sqrt{x}=\frac{y+2}{2} \end{matrix}\right.(*)$

Lại có $(2)\Leftrightarrow (y+\sqrt{x})^{2}=y^{2}x\Leftrightarrow y+\sqrt{x}=y\sqrt{x}(**)$

Thế $(*)$ vào$(**)$ ta có: $y+\frac{y+2}{2}=y.\frac{y+2}{2}\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=4$

Thấy nghiệm thỏa mãn ĐK. Vậy hệ có nghiệm $x=4$,$y=2$