anonymous98

Có $a^{2}+ab+b^{2}\geq 3ab$

$\Leftrightarrow \frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\leq \frac{ab(a+b)}{3ab}=\frac{a+b}{3}$

$\Leftrightarrow a-\frac{ab(a+b)}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq a-\frac{a+b}{3}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{2a-b}{3}$

Chứng minh tương tự rồi cộng từng vế đc đpcm

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Cho a,b,c là 3 cạnh tam giác. Chứng minh $\sum \left ( 2a^{2}-bc \right )\left ( b-c \right )^{2}\geq 0$

Chứng minh $a^{4}+4(b+c)=a^{4}+4abc(b+c)\leq (a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$

Chỉ cần biến đổi tương đương và dùng bđt $2xy\leq x^{2}+y^{2}$

Suy ra $\sum \frac{a^{2}}{a^{4}+4(b+c)}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sum a^{2}}=1$

Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=1$

$P = \frac{x^{2}(x-1)+y^{2}(y-1)}{(x-1)(y-1)}$

     = $\frac{x^{2}}{y-1}+\frac{y^{2}}{x-1}$

     $\geq 2.\sqrt{\frac{x^{2}y^{2}}{(y-1)(x-1)}}$

$= 2.\frac{x}{\sqrt{x-1}}.\frac{y}{\sqrt{y-1}}$

Có $x=(x-1)+1\geq 2\sqrt{x-1}$  $\Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x-1}}\geq 2$

Tương tự rồi suy ra P $\geq 2.2.2= 8$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=2$