hihi2zz

Cho $a, b, c \in \mathbb{R}$ sao cho $a^{2}+ b^{2} + c^{2}=65$. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn lớn nhất của hàm số $y= a + b\sqrt{2}\sin x+ c\sin{2x}$ trên $\left(0;\frac{\pi}{2} \right )$

$y^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(1+2\sin^2x+\sin^2 2x)=65(1+2\sin^2x+\sin^22x)$

Đặt $f(x)=1+2\sin^2x+\sin^22x=1+2\sin^2x+4\sin^2x.(1-\sin^2x)$$=-4\sin^4x+6\sin^2x+1$

Đặt $\sin^2x=t,t \in (0;1)$

$g(t)=-4t^2+6t+1\rightarrow g'(t)=-8t+6;g'(t)=0\leftrightarrow t=\frac{3}{4}$

$y^2 \leq 65.\frac{13}{4}\rightarrow -13\frac{\sqrt{5}}{2}\leq y \leq 13\frac{\sqrt{5}}{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\frac{\pi}{3}$ và $\frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}\sin x}{b}=\frac{\sin 2x}{c}\leftrightarrow \frac{1}{a}=\frac{\sqrt{6}}{2b}=\frac{\sqrt{3}}{2c}$

Thay vào $a^2+b^2+c^2=65 \rightarrow \left\{\begin{matrix} a=2\sqrt{5}\\ b=\sqrt{30} \\ c=\sqrt{15} \end{matrix}\right. \vee \left\{\begin{matrix} a=-2\sqrt{5}\\ b=-\sqrt{30} \\c= -\sqrt{15} \end{matrix}\right.$

P/S:Mới thấy trong một tài liệu  Hay nhờ 

 

Có 6 đứa thi mà sau 3 vòng đứa nào cũng ngang điểm nhau !!! :burnjosstick:

Vòng 1:

http://i8.upanh.com/.../57750803.1.jpg

....

Vòng này mình làm được câu 1, 2 và 3a:-x

--------

Vòng 2:

http://i0.upanh.com/.../57750804.2.jpg

....

Vòng này mình làm được câu 1, 2 @_@

--------

Vòng 3:

http://i1.upanh.com/.../57750805.3.jpg

....

Vòng này mình làm được câu 1, 4 @_@

-------------

Các bác ai làm được hết chỉ em với!!! :feelgood:

 

Câu 4:(Vòng 1)

Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên $x_0$.

Biến đổi $$m=\frac{x_0^{2016}+2015x_0^{2015}+2014x_0^{2014}-2013x_0}{x_0^{2014}-3}$$$=x_0^2+2015x_0+2014+\frac{4032x_0+6042}{x_0^{2014}-3}$

Suy ra $\frac{4032x_0+6042}{x_0^{2014}-3}$ là số nguyên.

Mặt khác nếu $|x_0|\geq2$,ta có $|x_0^{2014}-3|>|4032x_0+6042|$ (Dễ chứng minh) do đó $|x_0|<2$ hay $x_0 \in -1;0;1$.Thử trực tiếp chỉ có $x_0=0$ là nghiệm nguyên duy nhất... 

cho $\alpha \epsilon (0,180)$ (thỏa mãn

 $\frac{\sin ^{4}\alpha }{a} +\frac{\cos ^{4}\alpha }{b} = \frac{1}{a+b}$ CMR

 

 

$\frac{\sin ^{8}\alpha }{a^{3}}+\frac{\cos ^{8}\alpha }{b^{3}}= \frac{1}{a+b}$

 

ai có bài nào hệ thức lượng hay nữa gửi cho e với

Áp dụng BĐT $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}\geq \frac{(a+b)^2}{x+y}$,đẳng thức xảy ra$\frac{a}{x}=\frac{b}{y}$ vào điều kiện suy ra $\frac{\sin^2 \alpha}{a}=\frac{\cos^2 \alpha}{b}=\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{a+b}=\frac{1}{a+b}$

Suy ra $\sin^2 \alpha=\frac{a}{a+b};\cos^2 \alpha=\frac{b}{a+b}$.

Thay vào ta được $\frac{\sin^8 \alpha}{a^3}+\frac{\cos^8 \alpha}{b^3}=...=\frac{1}{(a+b)^3}$

P/S:Không biết đúng không vì lời giải này cần điều kiện $a,b >0$? 

 

b/ $\left\{\begin{matrix} 2xy+3x+4y=-6\\  x^{2}+4y^{2}+4x+12y=3 & \end{matrix}\right.$

 

Phương trình thứ nhất $\Leftrightarrow (x+2)(2y+3)=0$...

cho ba số thực a, b, c đôi một phân biệt. CMR: $\frac{a^{2}}{(b-c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c-a)^{2}}+\frac{c^2}{(a-b)^{2}}\geq 2$

Đặt $x=\frac{a}{b-c};y=\frac{b}{c-a};z=\frac{c}{a-b}$

Ta có $(x+1)(y+1)(z+1)=(x-1)(y-1)(z-1)\Leftrightarrow xy+yz+zx=-1$

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với $x^2+y^2+z^2 \geq 2\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\geq-2(xy+yz+zx)\Leftrightarrow (x+y+z)^2\geq0$ (Luôn đúng).

Đẳng thức xảy ra,chẳng hạn $(a;b;c)=(1;0;-1)$

Bạn giải  cụ thể cho mình được không ? Mình làm như vậy không ra .

Từ điều kiện xác định ta có: $x \geq y$.Mà $y=\frac{x^2+1}{2}\geq |x|\geq x$.Suy ra $x=y=1$.Thử lại...

ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN CHUYÊN NGUYỄN DU (VÒNG 2) - 2013/2014 - 180 phút

Bài 1:(4 điểm)

Giải phương trình: $x=\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3.\sqrt[3]{3x+2}+2}+2}$

Bài 2:(3 điểm)

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa: $x^{2y}+(x+1)^{2y}=(x+2)^{2y}$

Bài 3:(4 điểm)

Cho hai tam giác $ABC$ và $A'B'C'$.Gọi $ d_1,d_2,d_3$ là các đường thẳng lần lượt qua $A,B,C$ và vuông góc với $B'C',C'A',A'B'.$Gọi $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ qua $A',B',C'$ và vuông góc với $BC,CA,AB$.Biết $ d_1,d_2,d_3$ đồng quy.Chứng minh rằng $\Delta_1,\Delta_2,\Delta_3$ đồng quy.

Bài 4:(3 điểm)

Cho hàm $f(x)$ thỏa mãn: $f(\tan2x)=\tan^4x+\cot^4x, \forall x \neq \frac{k\pi}{4} (k \in \mathbb{Z}).$Chứng minh rằng: $f(\sin x)+f(\cos x)\geq 196$

Bài 5:(3 điểm)

Cho dãy $(u_n)$ thỏa: $\left\{\begin{matrix} u_1=1;u_2=3\\ u_{n+2}=3u_{n+1}+u_n, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng: Với mọi $k \in \mathbb{N}^*$,tồn tại $n \in \mathbb{N}^*$ để $u_n$ chia hết cho $10^k$.

Bài 6:(3 điểm)

Cho đa giác lồi $2014$ đỉnh.Một điểm $P$ nằm trong đa giác mà không thuộc bất kì đường chéo nào của đa giác.Chứng minh rằng số tam giác có đỉnh thuộc $2014$ đỉnh trên mà chứa được $P$ ($P$ thuộc miền trong tam giác đó) là số chẵn.

Cho $a,b,c$ đôi một khác nhau. Cmr: $P=a^4(b-c)+b^4(c-a)+c^4(a-b)\neq 0$

Ta có $P=(a-b)(c-a)(c-b)(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)$.Dễ dàng suy ra $P \neq 0$

Cho $x,y,z$ là số dương thoả mãn: $\sum \frac{1}{x+y}=6$

chứng minh $\sum \frac{1}{3x+3y+2z}\leq \frac{3}{2}$

Ta có: $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z}+\frac{1}{y+z} \geq \frac{16}{3x+3y+2z}$

Cộng ba BDDT tương tự ta có đpcm.

Giải hệ phương trình sau

$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2-xy=5\\ x^3+y^3=5x+15y \end{matrix}\right.$

$x^2+y^2-xy=5 \Rightarrow (x+y)(x^2+y^2-xy)=5(x+y) \Leftrightarrow x^3+y^3=5x+5y=5x+15y \Leftrightarrow y=0,x=\pm \sqrt{5}$

Cho $p,q$ là hai số nguyên tố lẻ liên tiếp nhau. Chứng minh $p+q$ là tích của ít nhất 3 số nguyên lớn hơn 1 (ba số này không nhất thiết phải khác nhau)

$p=2m+1;q=2n+1 (m,n \geq 1, n>m)$, $p+q=2(m+n+1)$

Ta có $2m+1 < m+n+1 <2n+1$

Suy ra $m+n+1$ là hợp số.Suy ra điều phải chứng minh.   Lúc nãy mình nhầm

Giả sử rằng $a,b,c,d$ thoả $a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2$

Chứng minh:

$a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4$

Sử dụng kiến thức hkI lớp 9 thôi

$a^2+b^2+(a+b)^2=c^2+d^2+(c+d)^2\Leftrightarrow a^2+b^2+ab=c^2+d^2+cd$

Bình phương hai vế được: $a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2=c^4+d^4+2c^3d+2cd^3+3c^2d^2 \Leftrightarrow 2(a^4+b^4+2a^3b+2ab^3+3a^2b^2)=2(c^4+d^4+2c^3d+2cd^3+3c^2d^2 ) \Leftrightarrow a^4+b^4+(a+b)^4=c^4+d^4+(c+d)^4$

Tìm x sao cho $3^{x}+5^{x}=4^{x}$. Mong mọi người giúp tìm x nhưng không dùng cách giải phương trình. Em xin cảm ơn ạ.

Phương trình tuơng đương với $(\frac{3}{4})^x+(\frac{5}{4})^x=1$

Nếu $x \geq 0$: $VT > (\frac{5}{4})^x >1$

Nếu $x<0$: $VT > (\frac{3}{4})^x >1$

Vậy không tồn tại $x$ thỏa mãn đề.

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} x(4-y^2)=8y\\ y(4-z^2)=8z \\ z(4-x^2)=8x \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} u=\frac{1}{(cx+d)^{n}}=(cx+d)^{-n}\\ dv=\frac{1}{(ax+b)^{m}}=(ax+b)^{-m} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=-nc(cx+d)^{-n-1}\\ v=\frac{1}{a(1-m)}(ax+b)^{1-m} \end{matrix}\right.$

 

Rồi đó bạn, cái này chỉ xài hàm hợp thôi à

Nhưng mà công thức nguyên hàm là $\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx$ mà bạn.Nếu theo cách đặt đó bài toán đâu đơn giản hơn?