tranducmanh2308

Cho $x, y, z$ là các số dương thỏa mãn điều kiện $xyz = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:  

$$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}.$$

Toán thủ ra đề: angleofdarkness

MSS 34 

Ta có

$E=\frac{1}{x^3(y+z)}+\frac{1}{y^3(z+x)}+\frac{1}{z^3(x+y)}=\frac{xyz}{x^3(y+z)}+\frac{xyz}{y^3(z+x)}+\frac{xyz}{z^3(x+y)}=\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}+\frac{\frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{z}}+\frac{\frac{1}{z^{2}}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

(do $xyz=1$)

đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$(với $a,b,c> 0;abc=1$)

Khi đó áp dụng bất đẳng thức svac-xơ và cô si cho các số dương vào biểu thức $E$

$E=\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}= \frac{a+b+c}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

(do $abc=1$)

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=b=c & \\ abc=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=y=z & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Vậy E min= $\frac{3}{2}$$\Leftrightarrow x=y=z=1$

d = 10

S = 41

Tồn tại hay không các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn phương trình sau đây ?

$$\sqrt{2025x^2+2012x+3188}=2013x-2011y+2094$$

Đề của 

lenin1999

$MSS34$

ta thấy xét x=1,y=2 thì

$VT=\sqrt{2025+2012+3188}=85$

$VP=2103-2011\times 2+2094=85$

nên $VP=VT$

Vậy tồn tại cặp sô nguyên (x,y) tm pt

Bạn nên làm chi tiết không nên mò mẫm

  d =8.5

 S =17+ 8.5x3 =42,5

Cho bàn cờ vua $8 \times 8$. Theo thứ tự từ trái qua phải, từ trên xuống dưới, ta làm việc sau:

Trong ô cờ thứ nhất đặt 1 hạt ngô

Trong ô cờ thứ hai đặt 2 hạt ngô

Trong ô cờ thứ ba đặt 4 hạt ngô

...

Trong ô cờ thứ 64 đặt $2^{63}$ hạt ngô.

 

Một con mã ô đầu tiên của bàn cờ, nó đi lòng vòng và ăn các hạt ngô trong ô nó nhảy đến( con mã di chuyển theo hình chữ L - 3 ô như đối với môn cờ vua) nhưng nó không ăn ở ô đầu tiên và không nhảy trở lại ô đầu tiên. Sau mỗi lần nó ăn người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu vào trong ô đó. Sau khi con mã đi xong nó quay trở về ô đầu tiên và ăn nốt hạt ngô ở ô đó.

 

Hãy CM rằng số ngô mà con mã ăn chia hết cho 3.

MSS 34

Ta thấy được bàn cờ vua được tô màu bởi các ô đen và trắng xen kẽ nhau.

Không mất tính tông quát, ta giả sử ô cờ đầu tiên thứ nhất đặt 1 hạt ngô($2^{0}$ hạt ngô) màu trắng thì các ô trắng tiếp theo sẽ đặt $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô, còn các ô màu đen sẽ đặt $2^{1}$,$2^{3}$,...,$2^{63}$ hạt ngô.

Con mã sẽ đứng ở ô màu trắng đầu tiên. Do con mã luôn đi từ ô trắng sang ô đen hoặc từ ô đen sang ô trắng nên từ ô đầu tiên nó sẽ đi sang ô màu đen, rồi từ ô đen đó đến ô trắng khác... cứ như vậy cho đến khi nó quay về ô trắng đầu tiên thì sô ô trắng mà nó đi nhiều hơn ô đen 1 ô (do khi đi nó bắt đầu từ ô màu trắng, khi quay về nó cũng về ô màu trắng và nó đi xen kẽ từ trắng sang đen và ngược lại)

Mà theo giả thiết nó không ăn hạt ngô ở ô đầu mà khi trở về ô đầu nó mới ăn và khi nó ăn ngô ở ô nào thì người ta lại đặt số ngô bằng số ngô ban đầu ở ô đó (khi nó quay lại 1 ô nào đó trên bàn cờ khác ô đầu tiên thì nó vẫn có thể ăn số ngô bằng số ngô trước đó) nên số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô. 

Lại có: các ô trắng được đặt  $2^{2}$,$2^{4}$,...,$2^{62}$ hạt ngô (số mũ chẵn ) nên ta đặt số ngô trong mỗi ô trắng là $2^{2k}$($k\in \mathbb{N}$,$k\leq 31$)

Tương tự ta đặt số ngô trong mỗi ô đen là $2^{2q+1}$ ($q\in \mathbb{N}$,$q\leq 31$)

do số ô đen mà nó ăn ngô cũng bằng số ô trắng mà nó ăn ngô nên ta gọi số ô đen(trắng) mà nó đi đến và đồng thời ăn ngô là $n$ ($n\in \mathbb{N}$,$n\geq 1$)

Từ đó ta có số ngô mà nó ăn là:

 $n.2^{2k}+n.2^{2q+1}=n(4^{k}+4^{q}.2)$

$4\equiv 1(mod 3)$$\Leftrightarrow 4^{k}\equiv 1(mod 3)$ và $4^{q}.2\equiv 2(mod 3)$

nên $4^{q}.2+4^{k}\equiv 3\equiv 0(mod 3)$$\Leftrightarrow n(4^{q}.2+4^{k})\equiv 0(mod 3)$

Suy ra số ngô mà nó ăn chia hết cho 3 (đpcm)

Cho $x,y\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $(x+y)^{3}+4xy\geq 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của:

$$ P=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1$$

Đề của 

nk0kckungtjnh

Bài làm của MSS 34:

Áp dụng bđt $4ab\leq (a+b)^{2}$ với mọi $a,b$:

$4xy\leq (x+y)^{2}$$\Leftrightarrow 2\leq (x+y)^{3}+4xy\leq (x+y)^{3}+(x+y)^{2}$

Đặt $x+y=t$

Bpt trở thành: $t^{3}+t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{3}-t^{2}+2t^{2}-2\geq 0$

$\Leftrightarrow t^{2}(t-1)+2(t-1)(t+1)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)(t^{2}+2t+2)\geq 0$

$\Leftrightarrow (t-1)\geq 0$ (do $t^{2}+2t+2=t^{2}+2t+1+1=(t+1)^{2}+1> 0$ mọi $t$ )

$\Leftrightarrow t\geq 1$

$\Rightarrow x+y\geq 1$

$\Leftrightarrow (x+y)^{2}\geq 1$

mà $2x^{2}+2y^{2}\geq (x+y)^{2}$ với mọi $x,y$

$\Leftrightarrow 2x^{2}+2y^{2}\geq 1$

$\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$

Ta có:$A=3(x^{4}+y^{4}+x^{2}y^{2})-2(x^{2}+y^{2})+1= 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1$

Áp dụng bđt $ab\leq \frac{(a^{2}+b^{2})}{2}$ với mọi $a,b$

$3x^{2}y^{2}\leq \frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}$

nên $3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-3x^{2}y^{2}+1\geq 3(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})-\frac{3(x^{2}+y^{2})^{2}}{4}+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-2(x^{2}+y^{2})+1=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2})^{2}-\frac{9}{16}-2(x^{2}+y^{2})+1+\frac{9}{16}=\frac{9}{4}(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(x^{2}+y^{2}+\frac{1}{2})-2(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})+\frac{9}{16}=(x^{2}+y^{2}-\frac{1}{2})(\frac{9}{4}x^{2}+\frac{9}{4}y^{2}-\frac{7}{8})+\frac{9}{16}\geq \frac{9}{16}$

 (do $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}$)

Vậy $Min A =\frac{9}{16}\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}= \frac{1}{2}$ và $x=y$$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Điểm 10 .

Bài trước của em dùng nhầm định lí nên xin làm lại ạ

Áp dụng định li Ceva vào tam giác ABC,DEF ta có

$\frac{DB}{DC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB}=1$ (*)

$\frac{ME}{MF}.\frac{NF}{ND}.\frac{PD}{PE}=1$ (**)

Kéo dài AM cắt BC ở K,BN cắt AC ở I,CP cắt AB ở H

Kẻ BB',CC',FF',EE' vuông góc với AK

Ta có$\frac{BB'}{CC'}=\frac{BK}{CK}$ (Talet)

$\frac{FF'}{EE'}=\frac{MF}{ME}$ (Talet)

$\frac{BB'}{FF'}=\frac{AB}{AF}$ (Talet)

$\frac{CC'}{EE'}=\frac{AC}{AE}$ (Talet)

Từ đây suy ra $\frac{KB}{KC}=\frac{MF}{ME}.\frac{AB}{AC}.\frac{AE}{AF}$

Tương tự $\frac{IC}{IA}=\frac{ND}{NF}.\frac{BC}{BA}.\frac{BF}{BD}$

$\frac{HA}{HB}=\frac{PE}{PD}.\frac{CA}{CB}.\frac{CD}{CE}$

Hay $frac{KB}{KC}.\frac{IC}{IA}.\frac{HA}{HB}=\frac{MF}{ME}.\frac{ND}{NF}.\frac{PE}{PD}.\frac{AE}{AF}.\frac{BF}{BD}.\frac{CD}{CE}$=1 (theo (*) và (**))

Áp dụng định lí Ceva đảo suy ra AK,BI,CH thẳng hàng hay AM,BN,CP thẳng hàng

bạn chưa nói các đường nào song song với nhau khi sử dụng Talet