Knowledge Is Power

Cho $a_{1}, a_{2},...,a_{n}$ là các số thực trong đoạn $\begin{bmatrix} -1;1 \end{bmatrix}$ thỏa mãn 

$a_{1}^3+ a_{2}^3+_...+a_{n}^3= 0$

Chứng minh rằng

$a_{1}+ a_{2}+_...+a_{n}\leq \frac{n}{3}$

BÀI GIẢI:

Xét biểu thức $4x^3-3x+1=(x+1)(2x-1)^2\geq 0,\forall x\in \begin{bmatrix} -1,1 \end{bmatrix}$

Do đó ta có

$4a_{i}^3-3a_{i}+1\geq 0,i\in \begin{bmatrix} -1,1 \end{bmatrix}$

Do đó

$4(a_{1}^{3}+a_{2}^{3}+...+a_{n}^{3})-3(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})+n\geq 0$

$\Leftrightarrow -3(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})\geq -n$

$\Leftrightarrow a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq \frac{n}{3}$

Có còn cách ngắn hơn ko?

 Cho $0 < x < \frac{\Pi }{4}$. Chứng minh rằng:

$\frac{cos x}{(cos x - sin x)sin^2x}> 8$