augustin louis cauchy

Câu 2b/ Mỗi chữ số 1 2 3 4 5 6 đều xuất hiện ở hàng trăm nghìn, hàng chục nghìn, hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị 5! lần nên tổng tất cả các số đó là $\left ( 1+2+3+4+5+6 \right ). 5!.\left ( 10^{6} + 10^{5} + 10^{4} + 10^{3} + 10^{2} + 10 +1\right )=2799999720$

Khi a và m là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau thì số nguyên dương $x$ nhỏ nhất sao cho $a^{x}\equiv 1$ (mod m) gọi là bậc của a mod m và ký hiệu là $ord_{m}a$

Bài 4:

Tam giác $PBM$ cân tại $P$ 

$\Rightarrow \widehat{PBM}=\widehat{PMB}$

$\Rightarrow 2\widehat{ABC}-\widehat{MBC}= \widehat{ACB}+\widehat{MBC}$

$\Rightarrow \widehat{ABC}=2\widehat{MBC}$

$\Rightarrow$ $BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \frac{MC}{MA}=\frac{BC}{BA}=\frac{BC}{AC}$

Lại có $CN$ là phân giác ngoài của $\widehat{ACB}$

$\Rightarrow \frac{NA}{NB}=\frac{CA}{CB}$

Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ $\left ( I cố định \right )$ $\Rightarrow \frac{IB}{IC}=1$ 

Xét tam giác $ABC$ với $I$ thuộc $BC$ , $M$ thuộc $AC$ và $N$ thuộc $AB$ thì

$\frac{IB}{IC}. \frac{MC}{MA}. \frac{NA}{NB}=1.\frac{BC}{AC}.\frac{AC}{BC}=1 \Rightarrow M , N , I$ thẳng hàng

Vậy $MN$ luôn đi qua 1 điểm cố định.

Cho tam giác ABC với a,b,c là độ dài 3 cạnh; r và R lần lượt là bán kính của đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác ABC.

CMR $\left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\leqslant 8R\left ( R-2r \right )$