dtngoc

Bạn ơi mình dùng Chrome mà sao ko nhìn thấy đề nhỉ? Có thể chỉ giúp mình được ko?

Đặt $(a,b,c) = (\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x} )$ ,ta được :

$VT=\sum \frac{yz}{xy+xz+2yz} \leq \frac{1}{4} \sum (\frac{yz}{xy+yz} +\frac{yz}{yz+xz} )= \frac{1}{4} \sum (\frac{z}{x+z} +\frac{y}{x+y} )= \frac{3}{4}$

 Ta có: $\frac{4}{{ab + a + 2}} = \frac{4}{{ab + 1 + a + 1}} = \frac{4}{{ab + abc + a + 1}} = \frac{4}{{ab\left( {c + 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}}$

Từ đó: $\frac{4}{{ab + a + 2}} \le \frac{1}{{ab\left( {c + 1} \right)}} + \frac{1}{{a + 1}} = \frac{{abc}}{{ab\left( {c + 1} \right)}} + \frac{1}{{a + 1}} = \frac{c}{{c + 1}} + \frac{1}{{a + 1}}$

Tương tự: $\frac{4}{{bc + b + 2}} \le \frac{a}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}};\frac{4}{{ca + c + 2}} \le \frac{b}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}$

Từ đó: $\frac{4}{{ab + a + 2}} + \frac{4}{{bc + b + 2}} + \frac{4}{{ca + c + 2}} \le \frac{{a + 1}}{{a + 1}} + \frac{{b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{c + 1}}{{c + 1}} = 3$

$ \Rightarrow \frac{1}{{ab + a + 2}} + \frac{1}{{bc + b + 2}} + \frac{1}{{ca + c + 2}} \le \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 1$.

Bạn ơi sưả lại đề đi.