Đến nội dung

dtngoc

dtngoc

Đăng ký: 30-08-2013
Offline Đăng nhập: 05-02-2018 - 21:36
-----

#639789 Đề thi môn Toán chuyên trường Chuyên Lương Văn Tụy - Ninh Bình năm 2016-2017

Gửi bởi dtngoc trong 12-06-2016 - 10:43

Đặt $(a,b,c) = (\frac{x}{y}, \frac{y}{z}, \frac{z}{x} )$ ,ta được :

$VT=\sum \frac{yz}{xy+xz+2yz} \leq \frac{1}{4} \sum (\frac{yz}{xy+yz} +\frac{yz}{yz+xz} )= \frac{1}{4} \sum (\frac{z}{x+z} +\frac{y}{x+y} )= \frac{3}{4}$

 Ta có: $\frac{4}{{ab + a + 2}} = \frac{4}{{ab + 1 + a + 1}} = \frac{4}{{ab + abc + a + 1}} = \frac{4}{{ab\left( {c + 1} \right) + \left( {a + 1} \right)}}$

Từ đó: $\frac{4}{{ab + a + 2}} \le \frac{1}{{ab\left( {c + 1} \right)}} + \frac{1}{{a + 1}} = \frac{{abc}}{{ab\left( {c + 1} \right)}} + \frac{1}{{a + 1}} = \frac{c}{{c + 1}} + \frac{1}{{a + 1}}$

Tương tự: $\frac{4}{{bc + b + 2}} \le \frac{a}{{a + 1}} + \frac{1}{{b + 1}};\frac{4}{{ca + c + 2}} \le \frac{b}{{b + 1}} + \frac{1}{{c + 1}}$

Từ đó: $\frac{4}{{ab + a + 2}} + \frac{4}{{bc + b + 2}} + \frac{4}{{ca + c + 2}} \le \frac{{a + 1}}{{a + 1}} + \frac{{b + 1}}{{b + 1}} + \frac{{c + 1}}{{c + 1}} = 3$

$ \Rightarrow \frac{1}{{ab + a + 2}} + \frac{1}{{bc + b + 2}} + \frac{1}{{ca + c + 2}} \le \frac{3}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c = 1$.




#449563 $\frac{1}{1+cos(2x)}+\frac{1}...

Gửi bởi dtngoc trong 12-09-2013 - 08:27

Cách khác: 

$PT \Leftrightarrow \frac{1}{2\cos^{2}{x}}+ \frac{1}{2\cos^{2}{2x}}+\frac{1}{2\sin^{2}{3x}}=1$

$\Leftrightarrow \tan^{2}{x}+ \tan^{2}{2x}+\cot^{2}{3x}=1$

Mặt khác : $\cot{3x}= \frac{1-\tan{x}\tan{2x}}{\tan{x}+\tan{2x}}$

                 $\cot{3x}\tan{2x}+\tan{x}\tan{2x}+\cot{3x}\tan{x}=1$

                  $\Rightarrow 1= \cot{3x}\tan{2x}+\tan{x}\tan{2x}+\cot{3x}\tan{x}\leq \tan^{2}{x}+\tan^{2}{2x}+\cot^{2}{3x}$

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \tan^{2}{x}=\tan^{2}{2x}=\cot^{2}{3x}  \\  &  \tan^{2}{x}+\tan^{2}{2x}+\cot^{2}{3x}=1 \end{matrix}\right.$

                       $\Leftrightarrow x= \frac{k\pi}{6}   \forall  k\in \mathbb{Z}$

Nghiệm này ko thỏa với Đk 

Suy ra pt đã cho vô nghiệm.

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \tan^{2}{x}=\tan^{2}{2x}=\cot^{2}{3x}  \\  &  \tan^{2}{x}+\tan^{2}{2x}+\cot^{2}{3x}=1 \end{matrix}\right.$

                       $\Leftrightarrow x= \frac{k\pi}{6}   \forall  k\in \mathbb{Z}$

 

Cái dòng này sửa lại như sau

Dấu '=' xảy ra $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & \tan{x}=\tan{2x}=\cot{3x}  \\  &  \tan^{2}{x}+\tan^{2}{2x}+\cot^{2}{3x}=1 \end{matrix}\right.$

Hệ này vô nghiệm




#449173 $2cos6x+2cos4x-\sqrt{3}cos2x=sin2x+\sqrt{3...

Gửi bởi dtngoc trong 10-09-2013 - 08:54

$cos6x+cos4x-\left ( \frac{\sqrt{3}}{2}cos2x +\frac{1}{2}sin2x\right )=\frac{\sqrt{3}}{2}\Leftrightarrow cos6x+cos4x=cos\left ( 2x-\frac{\pi }{6} \right )+cos\frac{\pi}{6}\Leftrightarrow cos5xcosx=cosxcos\left ( x-\frac{\pi}{6} \right)\Leftrightarrow ...$