zBooBz

Bài 3: gpt : $\sqrt{2x+1}+\sqrt{3-2x}=\frac{1}{2}(2x-1)^2$

$D=[\frac{-1}{2} ; \frac{3}{2}]$

$-> 2\sqrt{2x+1} -(2x+1) + 2\sqrt{3-2x} -(3-2x) = 4x^2-4x-3$

$-> \frac{(2x+1)(3-2x)}{2\sqrt{2x+1} + (2x+1)} +\frac{(2x+1)(3-2x)}{2\sqrt{3-2x} + (3-2x)} = (2x+1)(2x-3)$

$-> (2x+1)(3-2x).[\frac{1}{2\sqrt{2x+1} + (2x+1)} + \frac{1}{2\sqrt{3-2x} + (3-2x)} + 1=0$

$-> x= -\frac{1}{2} v x=\frac{3}{2}$ (so với đk ta dễ thấy vế sau vô nghiệm)

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2y=2y^2+2x & \\ y\sqrt{x-y+1}+x=2 & \end{matrix}\right.$

Phương trình đầu tách thành $(x-y)(x+2y-2)=0$ thế vào nhé bạn.

Đặt : $b=2x;c=3y(x;y> 0)\Rightarrow ax+xy+ay=1$
$\Rightarrow P=\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}=\sum \frac{1}{ax+xy+ay+a^{2}}=\sum \frac{1}{(a+x)(a+y)}=\frac{2(a+x+y)}{(a+x)(a+y)(x+y)}\leq \frac{2(a+x+y)}{\frac{8}{9}(a+x+y)(ax+xy+ay)}=\frac{9}{4}$
Vậy :
$MaxP=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=\frac{\sqrt{3}}{3};b=\frac{2\sqrt{3}}{3};c=\sqrt{3}$

Phương pháp bạn làm bài này là gì vậy ah? Nhất là ở chỗ Đặt : $b=2x;c=3y$ , làm cách nào để có thể có hướng đặt được như vậy ah?

Áp dụng BĐT Cauchy :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=(\frac{1}{a}+\frac{9}{16}a)+(\frac{1}{b}+\frac{9}{16}b)+(\frac{1}{c}+\frac{9}{16}c)-\frac{9}{16}(a+b+c)\geq \frac{3}{2}+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}-\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$
$GTNN=\frac{9}{4}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{4}{3}$

Làm phương pháp nào mà có thể biến đổi và cộng những lượng như vậy hả bạn?

Đề bài cho pt đầu của hệ là $2x^{2}+x-\frac{1}{y}=2$
sau đó bạn biến đổi tương đương thành $x(x+2)-\frac{1}{y}=2$
Có phải không ổn không bạn???

Ừ nhỉ, có 1 sự nhầm ko nhẹ ở đây ~~ tks đã phát hiện giúp nhé