zBooBz

Cho $x, y, z >0$ sao cho $xyz= 3$. Chứng minh
$x^{\frac{1}{x}}y^{\frac{1}{y}}z^{\frac{1}{z}} \leq 3^{\frac{xy+yz+xz}{9}}$

Cho x,y,z>0, a $\geq \frac{3}{2}$. Chứng minh

$(\frac{x}{y+z})^a +(\frac{y}{x+z})^a + (\frac{z}{x+y})^a \geq \frac{3}{2^a}$

Định m để phương trình có nghiệm
$\frac{1}{sin^2x} +3tan^2x +m(tanx + cotx) -1 = 0$

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^2+xy+2y=2y^2+2x & \\ y\sqrt{x-y+1}+x=2 & \end{matrix}\right.$

Phương trình đầu tách thành $(x-y)(x+2y-2)=0$ thế vào nhé bạn.

Ta có: $\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}\Rightarrow \frac{a^{2}}{a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}}\geq \frac{2a^{2}}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Thiết lập các BĐT tương tự rồi cộng theo vế ta được: 
$\large A\geq \frac{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}{\left ( a+b+c \right )^{2}}$
Mặt khác: $\large 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geq \left ( a+b+c \right )^{2}\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{\left ( \sum a \right )^{2}}{3}$
Do đó: $\large A\geq \frac{2}{3}$
Dấu = xảy ra khi a=b=c
p/s: Mình sai mất rồi!

$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\leq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Dòng này hình như bị sai chiều bđt, mình nghĩ phải là như vầy..
$\large a^{2}+\left ( b+c \right )^{2}\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{2}$
Nên bài của bạn có vẻ không ổn cho mấy nhỉ ^^

Đây là một bài tương tự vậy, bạn xem thử nhé, ở ví dụ 6
http://diendantoanho...án-khoảng-cách/

Mình chưa hiểu rõ đoạn này lắm, bạn chỉ mình với.

Áp dụng bđt BCS :
$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x} \leq \sqrt{(1+1)(2x-3 +5-2x)} = 2$

$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}+4x-x^2-6=0$
Chỉ em cách giải với ạ.

Phương trình trên tương đương với
$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}=x^2-4x+6$
$VT \leq \sqrt{2.2}= 2$
$VT = (x-2)^2+2 \geq 2$
Dấu bằng xảy ra x=2 (nhận)

Giải phương trình
$\frac{1}{1+cos2x} + \frac{1}{1+cos4x} + \frac{1}{1-cos6x} = 2$

Cho a,b,c > 0, abc=1, chứng minh:
$ \frac{1}{(a+1)^2 + b^2 + 1} + \frac{1}{(c+1)^2 + a^2 + 1} + \frac{1}{(b+1)^2 + c^2 + 1} \leq \frac{1}{2}$