dkhanhht

Bài số học năm nay khá nhẹ nhàng:
Bài 1: (vắn tắt) $3^p+4^p=x^2 \rightarrow 3^p=(x-2^p)(x+2^p) \rightarrow x-2^p=3^m,x+2^p=3^n \rightarrow 2^{p+1}=3^n-3^m \rightarrow m=0,n=p$ (xét mod(3))
Suy ra ngay được $2^{p+1}=3^p-1$ nếu $p>3$ dùng Fermat bé suy ra ngay vô lý, còn $p\le 3$ thì $p=2$ thỏa mãn

Bài 3: Quy ước 1x3 là quân nằm ngang và 3x1 nằm dọc
Chia bàn cờ ra thành $671$ cụm 3x3 và một cụm 3x2, gọi các cụm này là $C_1,.,C_{671}$, riêng cụm 3x2 không quan tâm, ta khẳng định bạn $A$ thắng như sau: đầu tiên $A$ đặt quân 1x3 vào $C_1$ (có thể nằm ở hàng trên cùng, giữa hoặc cuối của $C_1$ không quan trọng vì sau khi đặt vào thì $B$ ko thể đặt quân 3x1 nào vào cụm đó nữa) sau đó do bạn $B$ chỉ đặt 3x1 (tức quân nằm dọc) giả sử quân đó thuộc $C_i$ nào đó thì $A$ chỉ cần không đặt quân 1x3 bị chèn vào $C_i$ đó, mà cụ thể $A$ đặt 1x3 vào một $C_j$ khác với $j$ khác $i$, khi đó ta có ngay được $A$ sẽ luôn chiếm giữ được ít nhất $\dfrac{671+1}{2}=336$ cụm 3x3 trong khi $B$ chỉ chiếm giữ được tối đa $335$ cụm 3x3 (do A đi trước), như vậy việc còn lại là hoàn thành các cụm 3x3 thì $A$ có thể hoàn thành với ít nhất $336x3=1008$ quân 1x3 trong khi $B$ chỉ hoàn thành tối đa $2015-1008=1007$ quân 3x1 (cho dù $B$ chiếm giữ cụm 3x2 thừa ra thì vẫn chỉ thu được tối đa 1007 quaan3x1) tức là $A$ thắng (vì đến lúc B sẽ không đặt được nữa trước khi $A$ không đặt được !)

P/S qua cách giải này ta có thể thấy nếu bàn cờ 3xn với $n=6k+t$ với $t$ lẻ thì $A$ sẽ thắng

Mình nghĩ phải là t bằng 3, 4, 5, 6 An thắng chứ.

 Định lý 3: Cho $(x_n)$ là dãy các số thực thỏa:

               i) $(x_n)$ là dãy không giảm.

               ii) $x_n\in\mathbb{R}$

               iii) $x_1+x_2+...+x_n=k=\text{const}$

               iv) $f$ là hàm trên $[\alpha ; \beta ]$ thỏa $f$ lồi trên $(-\infty; \gamma ]$ và lõm trên$[\gamma ; +\infty )$.

Đặt $F=f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)$. Khi đó: 

       + $\min F\Leftrightarrow x_1\le x_2=x_3=...x_n$

       + $\max F\Leftrightarrow x_1=x_2=...=x_{n-1}\le x_n$

 

 

Chỗ bôi đỏ có phải là $\lim$ không nhi?