dkhanhht98

Áp dụng thế nào bạn? Mình vẫn chưa rõ.

Bổ đề: số cách tô màu cho đa giác đều 12 cạnh sao cho không có mẫu đơn sắc nào là $906$

Xét đa giác đều 12 cạnh:

Ta chỉ cần đếm số cách tô màu không có tam giác đều và tứ giác đều nào cùng màu (có 4 tam giác đều và 3 tứ giác đều)

Có $6^4$ cách tô sao cho không có tam giác đều nào cùng màu

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $1$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times 2\times 3^4$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có ít nhất $2$ tứ giác đều cùng màu: Có $3\times \left(2+2\times 2^4 \right)$ cách tô

Xét các cách tô sao cho có $3$ tứ giác đều cùng màu: Có $6$ cách tô

Theo nguyên lí bù trừ ta có tổng cộng $906$ cách tô

Quay lại bài toán:

Ta nhận thấy rằng số cách tô màu 24-giác đều sao cho không có một mẫu đơn sắc nào cungx chính là số cách tô màu $2$ 12-giác đều không có một mẫu đơn sắc nào được tạo bởi $24$ đỉnh trên: $906^2$ cách tô (áp dụng bổ đề trên)

Bạn có thể giải thích bù trừ thế nào không? Mình chưa hiểu lắm!

Ta có nhận xét
$$f(m)-f(n)\ge m-n$$.
Nếu $f(n)>n+1002$ thì $n+2004=f(f(n)) >f(n+1002)$. Khi đó $f(n+1002)-f(n)<1002$, trái với nhận xét.
Nếu $f(n)<n+1002$, tương tự.

Chém bài "dễ thương" nhất cái đã

Gọi $k$ là số các ô còn trống.

Giả sử $k \geq 33$

Ta cần CM trong một hàng (hoặc cột) không tồn tại 6 ô vuông trống

Giả sử tồn tại 6 ô vuông trống trên một hàng.

Khi đó trên mỗi cột có ít nhất 6 ô có quân cờ, suy ra $k \leq 28$, vô lí

Vậy trong một hàng (hoặc cột) có nhiều nhất 5 ô vuông trống

Vì $k \geq 33$ nên theo nguyên tắc Dirichlet tồn tại một hàng có 5 ô vuông trống.

Tương tự, tồn tại một cột có 5 ô vuông trống.

Hàng đó và cột đó giao nhau tại một ô, ô đó phải là ô có cờ

Gọi các hàng chứa 5 ô ở cột đó là $r_1,r_2,...,r_5$

Gọi các cột chứa 5 ô ở hàng đó là $c_1,c_2,...,c_5$

Dễ thấy có ít nhất $30$ ô chứa quân cờ

Gọi ô được giao bởi cột $i$ và hàng $j$ là $a_{ij}$ và ta biểu diễn $a_{ij}=1$ nếu ô $a_{ij}$ chứa quân cờ, ngược lại $a_{ij}=0$

Nhận xét: có nhiều nhất một $a_{ij}=0$ (nếu có 2 $a_{ij}=0$ thì $k \leq 32$, mâu thuẫn)

Vậy có ít nhất một cột trong $8$ cột không chứa bất kì quân cờ nào trong $30$ quân cờ trên.

Vì số ô chưa đặt quân cờ này không vượt quá $5$ nên ta có ít nhất 3 ô có quân cờ.

Suy ra có ít nhất $33$ ô vuông có quân cờ, mâu thuẫn

Suy ra đpcm

Nhờ bạn nói rõ chỗ này!

cho biểu thức P(x) = $\sqrt{x^{8}+12x+12} - 3x$ . x₁, x₂ là nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$

CMR : P(x₁) = P(x₂)

Ta sẽ dùng đẳng thức $x_1^2-x_1-1=0$ để biến đổi "hạ bậc" $x^8+12x+12$.

Ta có $x_1^2-x_1-1=0 \Rightarrow x_1^4=x_1^2+2x_1+1=(x_1^2-x_1)+3x_1+1\Rightarrow x_1^4 =3x_1+2 \Rightarrow x_1^8+12x_1+12=(3x_1+2)^2+12x_1+12=(3x_1+4)^2$.