xxthieuongxx

 

Áp dụng C-S ta có $(\sum \frac{1}{\sqrt{4x^{2}+x+4}})^{2}\leq \sum \frac{1}{3}.\frac {1}{4x^{2}+x+4}\leq \frac{1}{9(x+2)}+\frac{4}{9(2x^{2}+1)}$

Tới đây sử dụng bổ đề: $\sum \frac{1}{x+2}\leq 1 $với xyz=1

Ta cần chứng minh $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ nhưng đây chính là 1 đẳng thức với xyz=1 

 

Cho mình hỏi tại sao $\sum \frac{2}{2x^{2}+1}\leq 1$ ???

Cho $a,b,c>0$.Tìm Max:$\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}}$

Có: $(\sum \sqrt{\frac{2a}{a+b}})^{2}\leq 3(\sum \frac{2a}{a+b})$
Ta sẽ cm max của $(\sum \frac{2a}{a+b})$ là 3
Đặt $x=\sqrt{\frac{b}{a}}$, $y=\sqrt{\frac{c}{b}}$, $z=\sqrt{\frac{a}{c}}$
ta có $x,y,z>0$ và $xyz=1$
Phải cm: $\sum (\sqrt{\frac{2}{1+x^{2}}})\leq 3$

Giả sử $1\geq xy$ thì $z\leq 1$
Ta cm: $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\leq \frac{2}{1+xy}$  (Cái này biến đổi tương đương là ra nhé!!) 

BĐT Bunhiacopxki có $(\sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}})^2\leq 2(\frac{2}{1+x^2}+\frac{2}{1+y^2})\leq \frac{8z}{z+1}$

$\Rightarrow \sqrt{\frac{2}{x^2+1}}+\sqrt{\frac{2}{1+y^2}}\leq 2\sqrt{\frac{2z}{z+1}}$

Lại có: $\sqrt{\frac{2}{1+z^2}}\leq \frac{2}{1+z}$

Do đó ta sẽ chứng minh: $2\sqrt{\frac{2}{1+z}}+\frac{2}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow (\sqrt{2z}-\sqrt{z+1})^2\geq 0$ (luôn đúng)

Suy ra $đpcm$
                   

Ta có: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2=>\frac{z-1}{z}+\frac{y-1}{y}+\frac{x-1}{x}=1$

Sử dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có: $x+y+z=(x+y+z).\sum \frac{x-1}{x}\geq (\sum \sqrt{x-1})^2$

Suy ra ĐPCM

Thanks...

Hộ mình thêm bài này đc không
http://diendantoanho...sqrtc/?p=603237

Đặt $x=2a;y=2b;z=2c$ thì $abc=1$, BĐT trở thành:

$\sum \frac{a^2}{a^2+a+1}\geq 1$

Bây giờ đặt $a=\frac{m^2}{np};b,c$ tương tự ta thu được BĐT sau:

$\sum \frac{\frac{m^4}{n^2p^2}}{\frac{m^4}{n^2p^2}+\frac{m^2}{np}+1}=\sum \frac{m^4}{m^4+m^2np+n^2p^2}\geq \frac{(m^2+n^2+p^2)^2}{\sum m^4+mnp(m+n+p)+\sum m^2n^2}\geq 1$ (dễ dàng chứng minh)

Hộ bài này luôn nhé bạn..

http://diendantoanho...sqrt1-ysqrt1-z/

Thanks