kfcchicken98

bài 4: $x_{n+1}-x_{n}= \sqrt{9x_{n}^{2}+11x_{n}+3}-x_{n}= \frac{8x_{n}^{2}+11x_{n}+3}{\sqrt{9x_{n}^{2}+11x_{n}+3}+x_{n}} > 0$ 
suy ra $x_{n+1}> x_{n}> 0$, suy ra đây là dãy tăng 
Giả sử dãy bị chặn trên, có  $\lim_{n\rightarrow \infty }x_{n}=L$
suy ra: $L=\sqrt{9L^{2}+11L+3}$
suy ra $8L^{2}+11L+3=0$, suy ra $L=-\frac{3}{8}; -1$( sai, vì  $x_{1}= \sqrt{3}> 0$
suy ra đây là dãy tăng và không bị chặn trên, suy ra $\lim_{x\rightarrow \infty }x_{n}= \infty$
suy ra $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x_{n+1}}{x_{n}}= \lim_{x\rightarrow \infty }\sqrt{9+\frac{11}{x_{n}}+\frac{3}{x_{n}^{2}}}= \sqrt{9}=3$

$\frac{x^{2}(y+z)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}= \frac{(\frac{x}{z}+\frac{x}{y})}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}\geq 2\frac{(\frac{x}{\sqrt{yz}})}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}= 2\frac{x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$
suy ra vế trái lớn hơn hoặc bằng 2$\sum \frac{x\sqrt{x}}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}$
đặt $x\sqrt{x}=a; y\sqrt{y}=b; z\sqrt{z}=c$
có bài toán quen thuôc 
$2(\frac{a}{b+2c}+ \frac{b}{c+2a}+\frac{c}{a+2b})\geq 2\frac{(a+b+c)^{2}}{3ab+3bc+3ca}\geq 2$

bài 2: 
$\lim_{x\rightarrow \frac{\Pi }{2}} (\sin x)^{\tan x}= \lim_{x\rightarrow \frac{\Pi }{2}}(1+\sin x-1)^{\frac{1}{\sin x-1}(\sin x-1)\tan x}$ (1)
đặt $y= \frac{\Pi }{2}-x$
(1) tương đương : 

$e^{\lim_{y\rightarrow 0}(\cos y-1)\cot y}= e^{\lim_{y\rightarrow 0}\frac{\cos y-1}{y}\frac{y}{\sin y}\cos y}= e^{0}=1$

bài 5:

có $u_{n+1}-u_{n}= \frac{u_{n}^{2}+2013u_{n}-2014u_{n}}{2014}= \frac{u_{n}^{2}-u_{n}}{2014}= \frac{u_{n}(u_{n}-1)}{2014} > 0$ (do $u_{n}\geq u_{1}=2> 1$
suy ra $u_{n+1}-u_{n}> 0$, suy ra là dãy tăng
b. đề bài tương đương với : $2014u_{n+1}= u_{n}^{2}+ 2013u_{n}$
$2014(u_{n+1}-1)= (u_{n}-1)(u_{n}+2014)$
$\frac{u_{n}+2014}{u_{n+1}-1}= 2014\frac{1}{u_{n}-1}$
$\frac{u_{n}}{u_{n+1}-1}= 2014(\frac{1}{u_{n}-1}- \frac{1}{u_{n+1}-1})$
suy ra$v_{1}+v_{2}+v_{3}+...+u_{n}= 2014(\frac{1}{u_{1}-1}-\frac{1}{u_{n+1}-1})=2014- \frac{2014}{u_{n+1}-1}< 2014$ đpcm

$\frac{\sqrt{x-1}}{x} \leq \frac{1+x-1}{2x}=\frac{1}{2}$
$\frac{\sqrt{y-2}}{y}\leq \frac{2+y-2}{\sqrt{2}y2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$
max= $\frac{1}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2}$

$\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+2012)(k+2013)}= \frac{1}{2013}\frac{k+2013-k}{k(k+1)(k+2)...(k+2013)}= \frac{1}{2013} (\frac{1}{k(k+1)(k+2)...(k+2012)}- \frac{1}{(k+1)(k+2)...(k+2013)})$

Suy ra:
$\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}U_{n}=\lim_{n\rightarrow \infty }(\frac{1}{2013!}-\frac{1}{(n+1)(n+2)...(n+2013)})\frac{1}{2013}= \frac{1}{2013}\frac{1}{2013!}$

có $(1-a)(1-c)(1-b)4 \leq (\frac{2-a-c}{2})^{2}(1-b)4= (a+2b+c)(a+2b+c)(1-b)\leq (a+2b+c)(\frac{(a+b+c+1)}{2})^{2}=(a+2b+c)\frac{1}{4}.4=(a+2b+c)$

4/ $\frac{8(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{ab+bc+ca} \geq \frac{24(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)^{2}}$
$\frac{24(a^{3}+b^{3}+c^{3})}{(a+b+c)^{2}} + \frac{9(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+b+c)^{2}} = \frac{21(a^{3}+b^{3}+c^{3})+3(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{2}} \geq \frac{16}{3} \frac{(a+b+c)^{3}}{(a+b+c)^{2}}= \frac{16}{3}(a+b+c)$
P/S bạn thử check lại đề xem 

Bạn không chú ý rằng nó lặp lại 1 lần mỗi vế à

$a^{2}+b^{2} \geq 2ab$

$b^{2}+c^{2} \geq 2bc$

$c^{2}+a^{2} \geq 2ca$
cộng 3 cái vào suy ra $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$
suy ra $(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (ab+bc+ca)$

$a^{2}+b^{2}\geqslant 2ab$(1)

$b^{2}+c^{2}\geqslant 2bc$(2)

$a^{2}+c^{2}\geqslant 2ac$(3)

Cộng vế với vế của (1);(2);(3)

$\Rightarrow 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\geqslant 2\left ( 2ab+2ac+2bc \right )$

$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2} \geqslant 2ab+2ac+2bc$

2ab+2bc+2ca=2(ab+bc+ca) chứ bạn,sao lại 2(2ab+2bc+2ca). Bạn thay a=b=c vào xem có phải $a^{2}+b^{2}+c^{2}= 2ab+2bc+2ca$ không

Mình giải vầy nhé

Giả sử  $a\geq b\geq c$ ta có:

$(p+q)\sum \frac{1}{pa+bq}\leq (p+q)\sum \frac{1}{pb+bq}= (p+q).\frac{1}{p+q}.\sum \frac{1}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}(Q.E.D)$

$\frac{p+q}{pa+bq} \leq \frac{p+q}{pb+bq} = \frac{1}{b}$
$\frac{p+q}{pb+qc} \leq \frac{p+q}{pc+qc} = \frac{1}{c}$
$\frac{p+q}{pc+qa}\leq \frac{p+q}{pc+qc} = \frac{1}{c}$
chưa giải quyết được bạn ạ

Dạ cám ơn thầy em không biết rõ lắm

Mong thầy tha lỗi vì em tưởng nhầm là $n\rightarrow \infty$ thì số càng bé không tới $2013$ ạ

dãy này là harmonic series, mình cũng không rõ tên tiếng việt nó là gì

chứng minh dãy này phân kì thì làm thế này: $\frac{1}{3}+\frac{1}{4} > \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}+\frac{1}{8} > \frac{4}{8}=\frac{1}{2}$
cứ tương tự như vậy, sẽ được vô hạn các cặp $\frac{1}{2}$ cộng vào nhau nên dãy phân kì 

bài 2 : đặt u = $x^{2}-x+1$
du = $(2x-1) dx$
suy ra $x^{2}-x= u-1$
nguyên hàm tương đương: $\int \frac{u-1}{\sqrt{u}}du= \int \sqrt{u} - \frac{1}{\sqrt{u}} du= \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{u}= \frac{2}{3} (x^{2}-x+1)^{\frac{3}{2}} - 2\sqrt{x^{2}-x+1}$

có $\frac{1}{a^{4}}= \frac{a^{2}}{a^{6}}$
$\frac{a^{2}}{a^{6}}+ \frac{1}{b^{4}} \geq \frac{(a+1)^{2}}{a^{6}+b^{4}}\geq \frac{4a}{a^{6}+b^{4}}$
tương tự, suy ra $2\sum \frac{1}{a^{4}} \geq 4\sum \frac{a}{a^{6}+b^{4}}$ (dpcm)

$\lim_{x\rightarrow - \infty }(\sqrt{x^2+2x}-x)=\lim_{x\rightarrow - \infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x}+x}=\lim_{x\rightarrow - \infty }\frac{-2}{\sqrt{1+\frac{2}{x}}-1}=+  \infty $

phải là dương vô hạn chứ bạn