giải: $\sum \frac{1}{a^{2}}+2a+2b+2c\geq 9$
suy ra $\sum \frac{1}{a^{2}}\geq 9-6=3$
$\frac{2}{3}\sum a^{2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^{2}=2$
cộng vào suy ra đpcm
- hoctrocuanewton yêu thích
Gửi bởi kfcchicken98 trong 06-02-2014 - 23:18
giải: $\sum \frac{1}{a^{2}}+2a+2b+2c\geq 9$
suy ra $\sum \frac{1}{a^{2}}\geq 9-6=3$
$\frac{2}{3}\sum a^{2}\geq \frac{2}{9}(a+b+c)^{2}=2$
cộng vào suy ra đpcm
Gửi bởi kfcchicken98 trong 05-02-2014 - 13:29
bđt tương đương $\sum \frac{y-x}{y(y+1)}\leq 0$
giả sử $x\geq y\geq z$
nếu $y\geq z$, có $\frac{x-y}{x(x+1)}\leq \frac{x-y}{y(y+1)}$; $\frac{y-z}{x(x+1)}\leq \frac{y-z}{z(z+1)}$
suy ra $\frac{x-z}{x(x+1)}\leq \frac{x-y}{y(y+1)}+\frac{y-z}{z(z+1)}$
suy ra $\frac{x-z}{x(x+1)}+\frac{y-x}{y(y+1)}+\frac{z-y}{z(z+1)}\leq 0$ đpcm
tương tự với $y< z$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 04-02-2014 - 10:02
bài 2 $\frac{ab}{a^{5}+b^{5}+c^{5}}\leq \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq \frac{abc}{ab(a+b+abc}=\frac{c}{a+b+c}$, tương tự có đpcm
bài 7$\sum \frac{x}{1+x^{2}}\leq \sum \sum \frac{x}{2x}=\frac{3}{2}$
$\sum \frac{1}{1+x}\geq \sum \frac{1}{1+1}=\frac{3}{2}$
bài 4 $\sum \frac{a^{3}}{a^{2}+ab+b^{2}}=\sum a-\frac{ab(a+b}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \sum a-\frac{a+b}{3}=\frac{a+b+c}{3}$
bài 6 $\frac{a^{2}+bc}{abc}=\frac{a}{bc}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{\sqrt{bc}}\geq \frac{4}{b+c}$
suy ra $\sum \frac{abc}{a^{2}+bc}\geq \frac{a+b+c}{2}$ dpcm
Gửi bởi kfcchicken98 trong 03-02-2014 - 11:12
đặt lại tiêu đề ko là bị khóa bài đó
$\sum \sqrt{3+4^{x}}\geq \sqrt{(3\sqrt{3})^{2}+(2^{x}+2^{y}+2^{z})^{2}}\geq \sqrt{27+9.2^{x+y+z}}=\sqrt{36}=6$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 03-02-2014 - 10:40
Ta có :$P=a^2+b^2+c^2+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
Gỉa sử $a\geq b\geq c$
$= > P\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac+c^2}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{a^2+b^2+c^2}{(c+a)(c+b)}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2< = > (a-b)^2(a+b-2c)\geq 0$(Luôn đúng)
dấu = khi $ab+bc+ca+c^{2}=ab+bc+ca$, tương đương c= 0?
Gửi bởi kfcchicken98 trong 03-02-2014 - 00:54
cho $a,b,c>0$, CMR:
$a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq \frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{3}$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 03-02-2014 - 00:48
$\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}+\sum a=\frac{a^{2}+ab+ac+b}{b+c}=\sum \frac{a+b}{b+c}\geq 3$
suy ra dpcm
Gửi bởi kfcchicken98 trong 02-02-2014 - 14:03
Có: $tan2x+cotx=\frac{cosx}{cos2xsinx}$
$\Rightarrow sin2x(tan2x+cotx)=2sinxcosx\frac{cosx}{cos2xsinx}=\frac{2cos^{2}x}{cos2x}$ (do $sin2x=2sinxcosx$)
Lại có:
$\sin 2x(\cot x + \tan 2x) = 4\cos^2x$$\Leftrightarrow \frac{2cos^{2}x}{cos2x}=4cos^{2}x\Leftrightarrow 2cos^{2}x(\frac{1}{cos2x}-2)=0$
Mà $cosx\neq 0\Rightarrow \frac{1}{cos2x}=2\Rightarrow cos2x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=30$
Đặt $\left\{\begin{matrix}a=\sqrt{2x+y}\geq 0 & & \\ b=\sqrt{5x+8}\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\sqrt{a^{2}+b^{2}-8}-a=4 & & \\ 2a-b=2 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a^{2}+b^{2}-8=16+8a+a^{2} & & \\ 8a=4a+8 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2a=b+2 & & \\ b^{2}-4b-32=0 & & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \begin{bmatrix}b=8\Rightarrow a=5 & & \\ b=-4\Rightarrow a=-1 & & \end{bmatrix}$
cosx=0 khi x= $\frac{\pi }{2}+k\pi$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 02-02-2014 - 13:07
$\frac{abc(a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)}\leq \frac{\sqrt{3}abc(a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}})}{2\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}(a+b+c)}\leq \frac{a+b+c+\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{6\sqrt{3}\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}\leq \frac{\sqrt{3}+1}{6\sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{18}$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 30-01-2014 - 11:43
Mình dùng soạn Latex trên diễn đàn, nhưng cứ soạn được 3, 4 kí tự là LaTex báo lỗi (Invalid Equation) Có ai giúp mình chỉnh lại được không?
Gửi bởi kfcchicken98 trong 30-01-2014 - 10:43
bđt tương đương với $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{a}{a^{2}+2bc}\geq \sum \frac{2a}{a^{2}+2bc}$
tương đương $\sum \frac{bc}{a(a^{2}+2bc)}\geq \sum \frac{a}{a^{2}+2bc}$
đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}; c= \frac{1}{z}$
bđt tương đương $\sum \frac{x^{3}}{2x^{2}+yz}\geq \sum \frac{xyz}{2x^{2}+yz}$
có $\sum \frac{xyz}{2x^{2}+yz}\leq \frac{xyz(x+y+z)^{2}}{(xy+yz+xz)^{2}}$
$\sum \frac{x^{3}}{2x^{2}+yz}\geq \frac{3xyz(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{(xy+yz+xz)^{2}}$
do $3(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq (x+y+z)^{2}$
suy ra dpcm
Gửi bởi kfcchicken98 trong 28-01-2014 - 23:22
Bạn có thể nói rõ hơn cách chứng minh bất đẳng thức phụ ở phần đầu đk k???
chứng minh bdt đó thì đơn giản thôi
$\frac{a}{b}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq \frac{3\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}$
tương tự, rồi suy ra $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{\sqrt[3]{b^{2}}}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{\sqrt[3]{c^{2}}}{\sqrt[3]{ab}}=\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}}$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 27-01-2014 - 10:46
a+b+c=1, suy ra $1\geq 3(ab+bc+ca)$
bđt tương đương $\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}=\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{9abc}+\frac{1}{9abc}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+18abc}+\frac{7}{9abc}=\frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+18(a+b+c)abc}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6(ab+bc+ca)^{2}}+\frac{7}{9abc}\geq \frac{9}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca}+21=\frac{9}{(a+b+c)^{2}}+21=30$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-01-2014 - 23:18
bài này đã được đăng rồi
http://diendantoanho...13-2014-lần-2/
$\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+3ab+c^{2}}}=\frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+2ab+c^{2}}}\geq \frac{a^{2}+ab+1}{\sqrt{a^{2}+ab+1}}=\sqrt{a^{2}+ab+1}$
có $\sum \sqrt{a^{2}+ab+1}=\sum \sqrt{a^{2}+ab+b^{2}+a^{2}+c^{2}}=\sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+\frac{1}{4}(a-b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sum \sqrt{\frac{3}{4}(a+b)^{2}+a^{2}+c^{2}}\geq \sum \sqrt{\sqrt{3(a+b+c)^{2}}+2(a+b+c)^{2}}=\sqrt{5(a+b+c)}$
Gửi bởi kfcchicken98 trong 23-01-2014 - 23:29
$\frac{(a+b)c}{(a+b)^{2}+c^{2}}=\frac{(a+b)c}{\frac{3(a+b)^{2}}{4}+\frac{(a+b)^{2}}{4}+c^{2}}\leq \frac{(a+b)c}{\frac{3(a+b)^{2}}{4}+c(a+b)}=\frac{4c}{3(a+b)+4c}$
giờ cần CM$\sum \frac{a+b}{3a+3b+4c}\geq \frac{3}{5}$
có $\sum \frac{(a+b)^{2}}{3(a+b)^{2}+4c(a+b)}\geq \sum \frac{4(a+b+c)^{2}}{6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+14(ab+bc+ca)}\geq \frac{3}{5}$
tương đương $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$ đúng
đpcm
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học