Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


kfcchicken98

Đăng ký: 09-09-2013
Offline Đăng nhập: 20-08-2017 - 03:03
-----

#472958 Chứng minh rằng $\sqrt[n]{(n+1)!}-\sqrt[n]{...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-12-2013 - 04:02

bài 4

đặt $x=\frac{b}{a}; y=\frac{c}{b};z=\frac{a}{c}$, suy ra xyz=1

ta có $\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{(x+1)^{3}}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{2}\frac{1}{(x+1)^{2}}$

tương tự $\sum \frac{1}{(1+x)^{3}}\geq \frac{3}{2}(\sum \frac{1}{(1+x)^{2}})-\frac{3}{8}$

giờ cần CM $\sum \frac{1}{(1+x)^{2}}\geq \frac{3}{4}$

có $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}= \frac{1}{(\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}+x)^{2}}+\frac{1}{(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+y)^{2}}\geq \frac{y}{(x+y)(xy+1)}+\frac{x}{(x+y)(xy+1)}=\frac{1}{xy+1}$

có $\frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}=\frac{z}{z+1}+\frac{1}{(1+z)^{2}}=\frac{z^{2}+z+1}{(z+1)^{2}}$

giả sử z là max (x,y,z), suy ra $z\geq 1$

xét đạo hàm $\frac{z^{2}+z+1}{z^{2}+2z+1}$ >0

suy ra $f(z)\geq f(1)=\frac{3}{4}$ đpcm




#472957 Chứng minh rằng $\sqrt[n]{(n+1)!}-\sqrt[n]{...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-12-2013 - 03:42

bài 3

do bđt thuần nhất nên chuẩn hóa a+b+c=1

$P\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+\frac{(ab+bc+ca)^{3}}{{\frac{1}{27}}(a+b+c)^{6}}=\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+\frac{27(ab+bc+ca)^{3}}{(a+b+c)^{6}}$

ta có $\frac{(a+b+c)^{3}}{27abc}+\frac{(a+b+c)^{3}}{27abc}+\frac{27(ab+bc+ca)^{3}}{(a+b+c)^{6}}\geq \frac{(ab+bc+ca)}{\sqrt[3]{(abc)^{2}}}\geq \frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}$

có $\frac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^{2}}+\frac{3(a+b+c)^{3}}{27abc}\geq 2\sqrt{\frac{(a+b+c)(ab+bc+ca)}{abc}}\geq 6$

có $\frac{22(a+b+c)^{3}}{27abc}\geq 22$

suy ra P$\geq 22+6=28$




#472956 Chứng minh $\sum \frac{a}{\sqrt{b+c...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-12-2013 - 02:53

đặt P=$\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}$

S= $a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)$

có $P^{2}S\geq (a+b+c)^{3}$

suy ra $P^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}\geq \frac{(a+b+c)^{3}}{\frac{2}{3}(a+b+c)^{2}}=\frac{3}{2}$

suy ra P$\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$




#472761 Đề thi chọn đội tuyển Olympic toán 2013 ĐH Mỏ địa chất- môn Giải tích

Gửi bởi kfcchicken98 trong 24-12-2013 - 23:18

bài 2

$\sum \frac{2n-1}{2^{n}}=\sum \frac{2n}{2^{n}}-\sum \frac{1}{2^{n}}$

có$\sum \frac{1}{2^{n}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

$\sum \frac{2n}{2^{n}}=2\sum \frac{n}{2^{n}}=2\sum \frac{2n-(n+1)+1}{2^{n}}=2\sum (\frac{n}{2^{n-1}}-\frac{n+1}{2^{n}}+\frac{1}{2^{n}})=2(1-\frac{n+1}{2^{n}})+2$

suy ra $\lim u_{n}=2(1-0+1)-1=3$




#472617 Tìm Max: $M=\sum \frac{1}{1-bc}$

Gửi bởi kfcchicken98 trong 24-12-2013 - 10:59

ta có $M=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}$

$\frac{1}{1-ab}-1=\frac{ab}{1-ab}$

suy ra M-3=$\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ac}$

ta có $2M-6=\frac{4ab}{2-2ab}+\frac{4bc}{2-2bc}+\frac{4ca}{2-2ca}=\frac{4ab}{(a-b)^{2}+c^{2}+1}+\frac{4bc}{(b-c)^{2}+1+a^{2}}+\frac{4ca}{(c-a)^{2}+1+b^{2}}\leq \frac{(a+b)^{2}}{a^{2}+c^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(b+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}+a^{2}+c^{2}}+\frac{(c+a)^{2}}{c^{2}+b^{2}+a^{2}+b^{2}}\leq \frac{a^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+c^{2}}+\frac{c^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=3$

suy ra $2M-6\leq 3$

suy ra $M\leq \frac{9}{2}$




#472601 Cho $a+b+c\leq 3$.Tìm GTNN của P=$\frac{1}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 24-12-2013 - 07:02

$P\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}+\frac{2011}{3}=\frac{2014}{3}$




#472399 Cho a, b, c $>$ 0. Chứng minh rằng: a) $\sqrt{...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 22-12-2013 - 23:53

bài 1

ta có$\sqrt{\frac{a}{b+c+2a}}+\sqrt{\frac{b}{a+c+2b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b+2c}}\leq \sqrt{3(\frac{a}{b+c+2a}+\frac{b}{a+c+2b}+\frac{c}{a+b+2c})}\leq \sqrt{\frac{3}{4}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}+\frac{c}{b+c})}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$

bài 2

bđt tương đương $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-bc}{bc}+\frac{a^{2}-ac+c^{2}}{ac}\geq 2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})$

có $\frac{a^{2}-ab+b^{2}}{ab}+\frac{b^{2}+c^{2}-bc}{bc}+\frac{a^{2}-ac+c^{2}}{ac}\geq \frac{a^{2}+b^{2}}{2ab}+\frac{b^{2}+c^{2}}{2bc}+\frac{c^{2}+a^{2}}{2ac}=\frac{a}{2b}+\frac{b}{2a}+\frac{b}{2c}+\frac{c}{2b}+\frac{c}{2a}+\frac{a}{2c}$

ta có $2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b})$ đpcm




#472137 Hong Kong National Olympiad 2013

Gửi bởi kfcchicken98 trong 21-12-2013 - 23:39

câu 1

bđt tương đương $\frac{1}{\sqrt[4]{a}}\sqrt[4]{\sqrt{3}+6\sqrt{3}ab}+\frac{1}{\sqrt[4]{b}}\sqrt[4]{\sqrt{3}+6\sqrt{3}bc}+\frac{1}{\sqrt[4]{c}}\sqrt[4]{\sqrt{3}+6\sqrt{3}ac}\leq \frac{1}{abc}$

có $\sum \frac{1}{\sqrt[4]{a}}\sqrt[4]{(\sqrt{3}+6\sqrt{3}ab)}\leq (\sqrt{\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}})\sqrt{\sqrt{\sqrt{3}+6\sqrt{3}ab}+\sqrt{\sqrt{3}+6\sqrt{3}bc}+\sqrt{\sqrt{3}+6\sqrt{3}ca}}\leq \sqrt[4]{\frac{3}{abc}}\sqrt[4]{27\sqrt{3}}$

giờ cần CM $\sqrt[4]{\frac{3}{abc}}\sqrt[4]{27\sqrt{3}}\leq \frac{1}{abc}$

tương đương ${\frac{3}{abc}}{27\sqrt{3}}\leq \frac{1}{(abc)^{4}}$

tương đương $\frac{1}{81\sqrt{3}}\geq (abc)^{3}$

ta có $abc\leq (\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{3})^{3}\leq \frac{(\sqrt{3(ab+bc+ca)})^{3}}{27}=\frac{(\sqrt{3})^{3}}{27}=\frac{\sqrt{3}}{9}=\frac{1}{3\sqrt{3}}$

suy ra $(abc)^{3}\leq (\frac{1}{3\sqrt{3}})^{3}=\frac{1}{27.3\sqrt{3}}=\frac{1}{81\sqrt{3}}$ đpcm 




#470640 cho a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=abc Tìm GTLN của B

Gửi bởi kfcchicken98 trong 13-12-2013 - 12:47

có$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2)}}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a^{2}bc}}=\frac{a}{\sqrt{bc+a^{2}+ab+ac}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c})$

tương tự, suy ra $B\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c})=\frac{3}{2}$




#470637 $\sum \sqrt{1+\frac{1}{a^{2...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 13-12-2013 - 12:19

áp dụng bđt minkowski $\sqrt{1+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{b^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{c^{2}}}\geq \sqrt{9+(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}}\geq \sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}$

do a+b+c=abc, suy ra $\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1$

suy ra $\sqrt{9+\frac{3}{ab}+\frac{3}{bc}+\frac{3}{ca}}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$




#470603 $H=\frac{a(b+c)}{(b+c)^{2}+a^{2}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 13-12-2013 - 05:28

chuẩn hóa $a+b+c=1$

bđt tuong đương $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}+\frac{b(1-b)}{(1-b)^{2}+b^{2}}+\frac{c(1-c)}{(1-c)^{2}+c^{2}}$

có $\frac{a(1-a)}{(1-a)^{2}+a^{2}}=\frac{a(1-a)}{2a^{2}-2a+1}=\frac{a(1-a)}{1-2a(1-a)}\leq \frac{a(1-a)}{1-\frac{(a+1)^{2}}{4}}=\frac{a(1-a)}{(1-\frac{a+1}{2})(1+\frac{a+1}{2})}=\frac{4a(1-a)}{(1-a)(a+3)}=\frac{4a}{a+3}=4-\frac{12}{a+3}$

suy ra $H\leq 12-12(\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3})\leq 12-12\frac{9}{10}=\frac{6}{5}$

suy ra max= $\frac{6}{5}$




#470473 $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 12-12-2013 - 14:19

giải, bđt tương đương $2(1+a^{2})(1+b^{2})\leq (1+ab)(1+a^{2}+1+b^{2})$

$2(1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2})\leq (1+ab)(1+a^{2}+1+b^{2})$

tương đương $2(1+a^{2}+b^{2}+a^{2}b^{2})\leq 1+a^{2}+1+b^{2}+ab+a^{3}b+ab+ab^{3}$

tương đương $a^{2}+b^{2}+2a^{2}b^{2}\leq 2ab+ab(a^{2}+b^{2})$

tương đương $2ab(1-ab)+(a^{2}+b^{2})(ab-1)\geq 0$

tương đương $(ab-1)(a^{2}-2ab+b^{2})\geq 0$

do a,b>1, suy ra ab-1>0; $(a-b)^{2}\geq 0$ , suy ra đpcm




#470471 Chứng minh rằng x1+x2+....+x2008<2009

Gửi bởi kfcchicken98 trong 12-12-2013 - 13:45

không biết bạn có cần nữa không, mình xin đưa ra 1 cách giúp bạn

có $x_{n+1}-1=\frac{x_{n}-1}{x_{n}+2}$

$x_{n+1}+1=\frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}+2}$

suy ra $\frac{x_{n+1}+1}{x_{n+1}-1}= \frac{3(x_{n}+1)}{x_{n}-1}$

có $\frac{(x_{n}+1)}{x_{n}-1}=\frac{3(x_{n-1}+1)}{x_{n-1}-1}=...=\frac{3^{n}(x_{0}+1)}{x_{0}-1}=3^{n+1}$

từ đó đưa ra được $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}$

có $x_{n}=\frac{3^{n+1}+1}{3^{n+1}-1}=1+\frac{2}{3^{n+1}-1}$

suy ra $x_{1}+x_{2}+...+x_{2008}=2008+\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}$

giờ cần CM $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{^{n+1}}-1}< 1$

ta có $\sum \frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{\frac{1}{2}3^{n+1}}=\sum \frac{4}{3^{n+1}}$=$\4\frac{\frac{1}{9}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4}{6}< 1$

có $\sum_{n=1}^{2008}\frac{2}{3^{n+1}-1}< \sum \frac{2}{{3^{n+1}}-1}< 1$ đpcm




#469822 $x^ny^n(x^n+y^n) \leq a$

Gửi bởi kfcchicken98 trong 09-12-2013 - 08:06

khi a=2; n=3

bđt tương đương $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$

tương đương $x^{3}y^{3}(x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\leq 2$

có $x^{3}y^{3}(x^{2}-xy+y^{2})\leq (\frac{(xy+xy+xy+x^{2}-xy+y^{2})}{4})^{4}=(\frac{(x+y)^{2}}{4})^{4}=1$

và x+y=2; suy ra đpcm




#469659 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THÁNG 12-MÔN TOÁN trường THCS Lê Quý Đôn

Gửi bởi kfcchicken98 trong 08-12-2013 - 12:15

bài 4

$\sqrt{a^{2}+abc}=\sqrt{a}\sqrt{a+bc}=\sqrt{a}\sqrt{a^{2}+ab+ac+bc}=\sqrt{a}\sqrt{(a+b)(a+c)}$

suy ra $\sum \sqrt{a^{2}+abc}=\sum \sqrt{a}\sqrt{a+b}\sqrt{a+c}\leq \sqrt{\sum (a+b)(a+c)}\leq \sqrt{(\frac{2a+2b+2c}{3})^{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}$

$9\sqrt{abc}\leq 9\sqrt{(\frac{(a+b+c)}{3})^{3}}=\frac{3}{\sqrt{3}}$

suy ra Max= $\frac{3}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}$