Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


kfcchicken98

Đăng ký: 09-09-2013
Offline Đăng nhập: 20-08-2017 - 03:03
-----

#469201 Một số bài bất đẳng thức THCS

Gửi bởi kfcchicken98 trong 06-12-2013 - 03:44

bài 4

bđt tương đương $\frac{a^{2}}{b}-2a+b+\frac{b^{2}}{c}-2b+c+\frac{c^{2}}{a}-2c+a\geq \frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c}$

tương đương $\frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(b-c)^{2}}{c}+\frac{(c-a)^{2}}{a}\geq \frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c}$

có $\frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(b-c)^{2}}{c}+\frac{(c-a)^{2}}{a}\geq \frac{(|a-b|+|b-c|+|c-a|)^{2}}{a+b+c}\geq \frac{(2|a-b|)^{2}}{a+b+c}=\frac{4(|a-b|^{2})}{a+b+c}$




#469189 $\sum \frac{a+bc}{b+c}\geq 2$

Gửi bởi kfcchicken98 trong 05-12-2013 - 23:30

cũng có thể giải theo cách này

bđt tương đương $\sum \frac{(a+b)(c+a)}{b+c}\geq 2$

đặt (a+b)=x; (b+c)=y; (c+a)=z

cần CM $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\geq 2$

đặt $\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}=P$

$(xyz+xyz+xyz)=S$

có $P.S\geq (xy+yz+xz)^{2}$

suy ra $P\geq \frac{(xy+yz+xz)^{2}}{3xyz}\geq \frac{3xyz(x+y+z)}{3xyz}=x+y+z=2$




#468695 CMR $3(ab+bc+ac)\leq 81$

Gửi bởi kfcchicken98 trong 04-12-2013 - 05:31

Lời giải. Ta có $a+b+c= \frac 1a + \frac 1b + \frac 1c+8 \ge \frac{9}{a+b+c}+8$.

Vì $a,b,c$ dương nên $a+b+c$ dương. Do đó $$(a+b+c)^2 \ge 9+8(a+b+c) \Leftrightarrow (a+b+c-4)^2 \ge 25 \Leftrightarrow a+b+c \ge 9$$

Ta có $ab+bc+ca \le \frac{(a+b+c)^2}{3}= \frac{81}{3}=27$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=3$. $\blacksquare$

ngược dấu 




#468496 $\frac{1}{a^{5}(b+2c)^{2}}+...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 03-12-2013 - 06:09

1. cho x,y,z dương, CM

$x^{3}(y^{2}+z^{2})^{2}+y^{3}(z^{2}+x^{2})^{2}+z^{3}(x^{2}+y^{2})^{2}\geq xyz(xy(x+y)^{2}+yz(y+z)^{2}+xz(x+z)^{2})$ (USA TST 2009)

2. cho a,b,c dương, abc=1

Tìm Min $\frac{1}{a^{5}(b+2c)^{2}}+\frac{1}{b^{5}(c+2a)^{2}}+\frac{1}{c^{5}(a+2b)^{2}}$ (USA TST 2010)




#468011 $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{ln(1+3x)}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 01-12-2013 - 00:53

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1+3x)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}3\frac{\ln (1+3x)}{3x}=3$




#467039 $\sum a^{3}.\sum \frac{1}{a^...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 27-11-2013 - 01:35

có $\frac{a^{3}}{b^{3}}+1+1\geq \frac{3a}{b}$

$\frac{a^{3}}{c^{3}}+1+1\geq \frac{3a}{c}$

$\frac{b^{3}}{a^{3}}+1+1\geq \frac{3b}{a}$

$\frac{b^{3}}{c^{3}}+1+1\geq \frac{3b}{c}$

$\frac{c^{3}}{a^{3}}+1+1\geq \frac{3c}{a}$

$\frac{c^{3}}{b^{3}}+1+1\geq \frac{3c}{b}$

suy ra $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})+9\geq 3(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$

do $\frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}) =\frac{3}{2}(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b})\geq \frac{3}{2}(3+3)=9$

suy ra $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{c^{3}})\geq \frac{3}{2}(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b})$




#466858 Tìm Min của P=$\frac{x}{\sqrt{1-x}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-11-2013 - 12:08

cách 1; đặt $S=x(1-x)+y(1-y)$

suy ra $P^{2}S\geq (x+y)^{3}$(Holder)

suy ra $P^{2}\geq \frac{(x+y)^{3}}{x(1-x)+y(1-y)}=\frac{1}{2xy}\geq 2$

suy ra P min=$\sqrt{2}$

cach 2

$\frac{x}{\sqrt{1-x}}+\frac{y}{\sqrt{1-y}}=\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{xy}}\geq \frac{(x+y)^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{xy}+\sqrt{y}\sqrt{xy}}\geq \frac{1}{\sqrt{(x+y)2xy}}= \frac{1}{\sqrt{2xy}}\geq \sqrt{2}$




#466824 $\sum \frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 26-11-2013 - 03:34

giải:$\frac{a}{\sqrt{bc(1+a^{2})}}=\frac{a\sqrt{bc}}{\sqrt{bc(bc+a^{2}bc})}=\frac{a}{\sqrt{bc+a^{2}+ab+ac}}=\frac{a}{\sqrt{(a+b)(a+c)}}\leq \frac{a}{2(a+b)}+\frac{a}{2(a+c)}$

tương tự,suy ra VT$\leq \frac{1}{2}(\frac{a}{a+b}+\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{c}{b+c})=\frac{3}{2}$

dấu $=$ khi a=b=c=$\sqrt{3}$




#466796 Tìm min $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 25-11-2013 - 22:02

câu b
bđt tương đương $\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}+\frac{c^{2}b}{a+c}\geq 1/2(ab+bc+ca)$

$\frac{a^{2}c}{a+b}+\frac{b^{2}a}{b+c}=\frac{a^{2}c^{2}}{ac+bc}+\frac{b^{2}a^{2}}{ab+ac}+\frac{c^{2}b^{2}}{bc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{2(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{2}$
P/S phải là lớn hơnhơn hoặc bằng $\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$




#466785 Tìm min $\frac{a}{b+c}+\frac{4b}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 25-11-2013 - 21:39

câu B

1. áp dụng bđt Cauchy Schwarz: $(a+b+c)(\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}})\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}$ 

do$(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq \frac{9}{4}$ bđt nesbitt

suy ra VT$\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$




#465912 $P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 22-11-2013 - 12:33

bài 1

$P^{2}\leq 3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})$

giờ cần chứng minh$3(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}+\frac{1}{1+z^{2}})\leq \frac{9}{4}$

bđt tương đương $\frac{x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{y^{2}}{1+y^{2}}+\frac{z^{2}}{1+z^{2}}\geq \frac{9}{4}$

tương đương $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{4}$

có $\frac{1}{1+\frac{1}{x^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{y^{2}}}+\frac{1}{1+\frac{1}{z^{2}}}\geq \frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}$

do x+y+z=xyz, suy ra $\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1$

suy ra $\frac{9}{3+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}}=\frac{9}{\frac{4}{3}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})^{2}}=\frac{27(x+y+z)^{2}}{4(xy+yz+xz)^{2}}\geq \frac{81}{4(xy+yz+xz)}$

$1=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\geq \frac{9}{xy+yz+xz}$

suy ra $\frac{81}{4(xy+yz+xz)}\geq \frac{9}{4}$ đpcm




#465896 $P= \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 22-11-2013 - 11:26

bài 2, trâu bò tí

P= $\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{x^{2}y+xz}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{xy^{2}+yz}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{y}\sqrt{y^{2}z}+xy}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z}\sqrt{yz^{2}+xz}}+\frac{x^{2}}{\sqrt{x}\sqrt{x^{2}z+yx}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{z}\sqrt{xz^{2}+yz}}\geq \frac{4(x+y+z)^{2}}{\sum \sqrt{x}\sqrt{x^{2}+xy}}\geq \frac{4}{\sqrt{2((\frac{2}{9}(a+b+c)^{3}+\frac{2(a+b+c)^{2}}{3}}}=\frac{4}{\sqrt{2(\frac{2}{9}+\frac{2}{3})}}=3$

tạm thời chưa có cách ngắn hơn




#465635 Tìm giá trị nhỏ nhất của P=$\sum \frac{a}{b^2+c...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 21-11-2013 - 11:41

giải: có 2 cách làm bài này, cách 1 là thay $b^{2}+c^{2}=1-a^{2}$ và tương tự rồi chứng minh

cách 2: $\frac{a}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+b^{2}}=\frac{a^{2}}{ab^{2}+c^{2}a}+\frac{b^{2}}{bc^{2}+a^{2}b}+\frac{c^{2}}{a^{2}c+b^{2}c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{ab(a+b)+bc(c+b)+ca(c+a)}$

do $2(a+b+c)^{3}\geq 9(ab(a+b)+bc(c+b)+ca(a+c))$

suy ra $P\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\frac{2}{9}(a+b+c)^{3}}=\frac{9}{2(a+b+c)}$

mặt khác $1=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$

suy ra $a+b+c\leq \sqrt{3}$

suy ra $P\geq \frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$




#465611 $(a+b)^{2}+(a+b+4c)^{2}\geq \frac{100...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 21-11-2013 - 02:23

cho a,b,c là các số dương

cm: $(a+b)^{2}+(a+b+4c)^{2}\geq \frac{100abc}{a+b+c}$


  • LNH yêu thích


#465464 $\frac{1}{\sqrt{1+3x}}+\fra...

Gửi bởi kfcchicken98 trong 20-11-2013 - 13:19

cho x,y,z >0; xyz=1

CM $\frac{1}{\sqrt{1+3x}}+\frac{1}{\sqrt{1+3y}}+\frac{1}{\sqrt{1+3z}}\geq \frac{3}{2}$