kfcchicken98

bạn làm rõ đoạn tô đỏ cái

$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{abc}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{1}{3abc}+\frac{2}{3abc}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ \frac{(a+b+c)^{2}}{3abc}+ \frac{2a+2b+2c}{3abc}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3abc}+ \frac{2ab+2bc+2ca}{3abc}+ \frac{2}{abc}= \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+ \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3abc}+ \frac{2}{3a}+ \frac{2}{3b}+\frac{2}{3c}+ \frac{2}{3abc}\geq \frac{2}{\sqrt{3abc}}+ \frac{18}{3a+3b+3c}+ \frac{18}{(a+b+c)^{3}}\geq 6+6+18=30$
đủ rõ chưa

câu 5, giải luôn cho liền tay

BĐT đã cho tương đương: $\sum \frac{1}{1+a^{3}}\geq \sum \frac{a^{2}}{1+a^{3}}$
có $\frac{1}{1+a^{3}}+\frac{1}{b^{3}+1}+\frac{1}{c^{3}+1}=2-\frac{1}{1+d^{3}}=\frac{2d^{3}+1}{d^{3}+1}\geq \frac{3d^{2}}{d^{3}+1}$
tương tự, rồi cộng vào ra đpcm

mình vẫn chưa hiểu phần $\frac{4x}{1+x}+\frac{4y}{1+y}+\frac{4z}{1+z}\leq 3\Leftrightarrow \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\geq \frac{9}{4}$

bạn trừ cả 2 vế cho 12, rồi đổi lại dấu là ra

$\frac{1}{a^{4}}=\frac{a^{2}}{a^{6}}$
$\frac{1}{a^{4}}+\frac{1}{b^{4}}= \frac{a^{2}}{a^{6}}+\frac{1}{b^{4}}\geq \frac{(a+1)^{2}}{a^{6}+b^{4}}\geq \frac{4a}{a^{6}+b^{4}}$
tương tự,rồi cộng các vế vào sẽ ra đpcm

bài 3 áp dụng bdt$a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$ ta có $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2\left ( b^{2}+c^{2} \right )}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{b^{2}+a^{2}})}\geq \frac{\frac{1}{2}(a^{2}+b^{2}+b^{2}+c^{2}+c^{2}+a^{2})}{\sqrt{2}\sqrt{2011}}$ đến đây bạn tự làm tiếp nhe' phải đi học rồi.áp dụng bdt$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}$

tại sao $\frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}+ \frac{b^{2}}{\sqrt{2(c^{2}+a^{2})}}+\frac{c^{2}}{\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{b^{2}+c^{2}}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+a^{2}})}$ vậy bạn? bạn giải thích cho mình? ý bạn có phải là $\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum \sqrt{2(b^{2}+c^{2})}}$

cho a,b,c>0 thõa mản: a^2+b^2+c^2=1

CMR: $\sum {\sqrt{a^2+1}} \geq \sqrt{12}$

$\sum \sqrt{a^{2}+1}\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2}+3)}=\sqrt{12}$

Không nhầm dấu đâu bạn

Áp dụng bất đẳng thức buhiacopsky ta có:

$\sqrt{(a^2+1)(\frac{1}{3}+1)}\geq \frac{a}{\sqrt{3}}+1$

Chứng minh tương tự rồi cộng lại ta có:

$\sqrt{\frac{4}{3}}\sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{a+b+c}{\sqrt{3}}+3\geq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+3\rightarrow \sum \sqrt{a^2+1}\geq \frac{4}{(\sqrt{\frac{4}{3}})}=2\sqrt{3}=\sqrt{12}$

Chắc ai cũng thắc mắc phần giữa 

Thật vậy ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ:

Với $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh $a+b+c\geq \sqrt{3}$ thì ta sẽ có điều phải chứng minh

bất đẳng thức phụ bị ngược dấu
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
suy ra$1\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{3}$
suy ra$\sqrt{3}\geq a+b+c$

$\sum \frac{a^{2}}{bc(b+c)^{2}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}c^{2}(a+b)^{2}(b+c)^{2}(c+a)^{2}}}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{64}}=\frac{3}{4}$

hoặc là đơn giản hơn: 

$x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz}$

$y^{2}+xz\geq 2y\sqrt{xz}$

$z^{2}+xy\geq 2z\sqrt{xy}$
suy ra VT lớn hơn hoặc bằng $2\sqrt{xyz}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$ đpcm

$\frac{1}{x^{3}}\geq \frac{3}{x}-2$
$\frac{1}{y^{3}}\geq \frac{3}{y}-2$

$\frac{1}{z^{3}}\geq \frac{3}{z}-2$

$3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3(\frac{3}{x+2y}+\frac{3}{y+2z}+\frac{3}{z+2x})$
cộng vào suy ra đpcđpcm

bạn check lại bài 1
những dạng bài này thì dùng công thức $\lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}= e$
2/ $\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x+\sin x)^{\frac{1}{x}}= \lim_{x\rightarrow 0}(1+2\sin x\cos x)^{\frac{1}{2\sin x\cos x}2\sin x\cos x\frac{1}{2x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\sin 2x}{2x}}=e^{1}$
3/$\lim_{x\rightarrow 0}(\cos x)^{}\frac{1}{\sin x}$=$\lim_{x\rightarrow 0}(1+\cos x-1)^{\frac{1}{\cos x-1}\frac{\cos x-1}{x}}=\lim_{x\rightarrow 0}e^{\frac{\cos x-1}{x}}=e^{0}=1$$
bài cuối cũng tương tự, nhưng mà mình lười quá   

$\frac{a^{3}}{a^{2}+b^{2}}= a-\frac{ab^{2}}{a^{2}+b^{2}} \geq a-\frac{b}{2}$
tương tự, suy ra vế trái lớn hơn hoặc bằng $a-\frac{b}{2}+b-\frac{c}{2}+c-\frac{a}{2}= \frac{a+b+c}{2}$

bđt tương đương $\frac{a}{2a-b}+ \frac{c}{2c-b}\geq 2$
có $\frac{1}{a}+ \frac{1}{c}=\frac{2}{b}$
suy ra $ab+bc=2ac$
$\frac{a}{2a-b}= \frac{ac}{2ac-bc}= \frac{c}{b}$
$\frac{c}{2c-b}= \frac{a}{b}$
có$\frac{2}{b}\geq \frac{4}{a+c}$
suy ra $a+c\geq 2b$ đpcm 

c/ BĐT tương đương : 

$\frac{a+b+c}{2a+b+c}+ \frac{a+b+c}{a+2b+c}+\frac{a+b+c}{a+2b+c}\geq \frac{9}{4}$
có $(a+b+c)(\frac{1}{2a+b+c}+\frac{1}{a+2b+c}+\frac{1}{a+b+2c})\geq (a+b+c)\frac{9}{4(a+b+c)}= \frac{9}{4}$ đpcm

b/ $\frac{1}{a+b-c}+ \frac{1}{b+c-a}\geq \frac{4}{2b}= \frac{2}{b}$
$\frac{1}{b+c-a}+ \frac{1}{a+c-b}\geq \frac{2}{c}$
$\frac{1}{a+c-b}+\frac{1}{a+b-c}\geq \frac{2}{a}$
cộng 3 vế suy ra đpcm