Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


pdtienArsFC

Đăng ký: 20-09-2013
Offline Đăng nhập: 15-01-2017 - 17:23
***--

Bài viết của tôi gửi

Trong chủ đề: Bài kiểm tra Trường Đông Toán học 2016 - Viện Toán học Hà Nội

16-12-2016 - 00:10

Mình tính cho bạn xem:
Từ $f(x+1)=f(x)+1$. Mình quy nạp được $f(x+n)=f(x)+n, \forall n \in \mathbb{Z}$.
Với mọi $p, q \in \mathbb{Z}$, ta có:
$$f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)=f\left(\dfrac{p^3}{q^3}+3p^2+3pq^3+q^6\right)=f^3\left(\dfrac{p}{q}\right)+3p^2+3pq^3+q^6$$
Mặt khác:
$$f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)=\left[f\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)\right]^3=\left[f\left(\dfrac{p}{q}\right)+q^2\right]^3=f^3\left(\dfrac{p}{q}\right)+3f^2\left(\dfrac{p}{q}\right)q^2+3f\left(\dfrac{p}{q}\right)q^4+q^6$$
Trừ vế theo vế, mình được đẳng thức đã nêu

Cái này thì tôi biết mà :(

Mình nói sau khi còn trường hợp 2 đấy, cái chỗ mình tô đỏ ấy.

Thay vào đó bạn có thể tính 1 lần nữa nhưng thay bởi dấu "-" và dùng 2 đẳng thức là được :P


Trong chủ đề: Bài kiểm tra Trường Đông Toán học 2016 - Viện Toán học Hà Nội

15-12-2016 - 23:48

Câu 2: Đầu tiên ta tính $f(-1)$, $f(0)$ và $f(1)$ bằng cách thay lần lượt $x$ bởi $-1$, $0$, $1$ vào giả thiết (2) được $f(-1), f(0), f(1) \in \left\{-1; 0; 1\right\}$.
Nếu $f(-1)=0$, suy ra $f(0)=1$, suy ra $f(1)=2$, vô lý.
Nếu $f(-1)=1$, suy ra $f(0)=2$, vô lý.
Vậy $f(-1)=-1$, suy ra $f(0)=0$ và $f(1)=1$.
Bằng quy nạp chứng minh được $f(n)=n, \forall n \in \mathbb{Z}$.
Bây giờ mình sẽ tính $f\left(\dfrac{p}{q}\right)$ với $p, q \in \mathbb{Z}$.
Ta tính $f\left(\left(\dfrac{p}{q}+q^2\right)^3\right)$ bằng hai cách để suy ra đẳng thức sau:
$$\left(f\left(\dfrac{p}{q}\right)-\dfrac{p}{q}\right)\left(f\left(\dfrac{p}{q}\right)+\dfrac{p}{q}+q^2\right)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{lcl} f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p}{q} \\ f\left(\dfrac{p}{q}\right)=-\dfrac{p}{q}-q^2\end{array}\right.$$
Giả sử tồn tại $p, q \in \mathbb{Z}$ sao cho $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=-\dfrac{p}{q}-q^2$, từ điều kiện 1 dễ suy ra điều vô lý.
Vậy $f\left(\dfrac{p}{q}\right)=\dfrac{p}{q}$ hay $f(q)=q, \forall q \in \mathbb{Q}$.
Thử lại thỏa.

Câu nói mang tính ngộ nhận quá bạn ơi :D Nếu có thể bạn giải thích rõ hơn nhé.

Thay vào đó, bạn có thể tính $f\left(\left(\dfrac{p}{q}-q^2\right)^3\right)$ bằng 2 cách, kết hợp với cái bạn có thì ta được đpcm nhé :P


Trong chủ đề: Đề thi lập đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT, tỉnh Thái...

24-10-2016 - 17:58

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(1-y)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=2$ và $x=1$ ta được $f(1)=0$ hoặc $f(1)=2$

Nếu $f(1)=0$ thì ta suy ra $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(1)=2$ thì thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x+1)=f(x)+2(x+1)$

Quy nạp ta được $f(x)=x^2+x$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$, $f(x)=0$ và $f(x)=x^2+x$ thỏa mãn $\blacksquare$

Nói rõ quy nạp đi bạn, trên N rồi sao nữa. Không phải soi mói nhưng đăng lời giải thì rõ ràng nha!!

Thay vì làm như vậy em có thể thay $y$ bởi $y+1$ ở (1)

Thế tiếp vào (1) khử đi $f(x).f(y)$ rồi thay $y$ bởi $\frac{1}{x}$, sẽ tìm được nghiệm $f(x)=x^2+x$


Trong chủ đề: Đề thi lập đội tuyển dự thi Học sinh giỏi Quốc gia lớp 12 THPT, tỉnh Thái...

23-10-2016 - 11:01

Bài 2: 

$f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y)$ $(1)$

Thay $x=y=0$ ta được $f(0)=0$ hoặc $f(0)=2$

+)Nếu $f(0)=0$:

Thay $x=-y=1$ suy ra $3f(-1)=f(1)f(-1)$

Nếu $f(-1)=0$ thì thay $y=-1$ suy ra $f(x-1)=f(-x)$ $\forall x \in \mathbb{R}$ $(2)$

Thay $y$ bởi $-y$ và áp dụng $(2)\implies f(x-y)+f(x)f(y-1)=f(xy-1)+(y+1)f(x)+(x+1)f(y-1)$

Khi đó thay $y=1$ ta được $f(x)=0$ $\forall x\in \mathbb{R}$

Nếu $f(-1)\neq 0$ thì $f(1)=3$. Khi đó thay $y=1$ vào $(1)$ suy ra $f(x)=3x$ 

+)Nếu $f(0)=2$ thì thay $y=0$ ta được $f(x)=x+2$

Thử lại thấy hàm $f(x)=3x$ và $f(x)=0$ thỏa mãn $\blacksquare$

Xem lại lời giải bạn, lời giải bài toán còn có nghiệm: $f(x)=x^2+x$ nữa nhé!!

Chữ đỏ nhầm nhé, thay y bởi -y nên đó thành $(1-y)f(x)$ và nếu cứ thay $y=1$ như em thì không rút ra được điều gì nhé!


Trong chủ đề: Nghệ An 2016-2017

09-10-2016 - 00:18

Câu dãy ngày 1

Cho $k$ là 1 số nguyên dương và dãy số $u_n$ được xác định bởi: 

$u_1=3; u_{n+1}= u_n+4n+2 $ 

Có gì đó sai sai vì $k$ để làm gì

k cố định bạn à, ra để lừa mấy đứa dùng Stolz thôi  :D