pdtienArsFC

Cho tam giác ABC, các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I thỏa mãn BD.CE=2BI.CI. Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác vuông

Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất, n >1 để A = $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là số chính phương

Tìm MIN P=$\sqrt{2^2+2xy+2y^2-4y-2x+5}$

Theo mình, bạn đánh nhầm đề rồi: Tìm Min: $\sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}-4y-2x+5}$. Và lời giải là:

$\sqrt{x^{2}+2xy+2y^{2}-4y-2x+5}=\sqrt{(x+y)^{2}-2(x+y)+1+y^{2}-2y+1+3}=\sqrt{(x+y-1)^{2}+(y-1)^{2}+3}\geq \sqrt{3}$

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : x=0, y=1. XONG

bởi vì phải xét điểm rơi. Dẫu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=0,5.

Mấy bài này giống trong cuốn "Những viên kim cương trong bất đẳng thức toán học" thế nhỉ

Chủ yếu là sử dụng AM-GM dạng $ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}$ với cauchy điểm rơi

Theo mình biết là vậy

sao toàn nói chung chung thế!!!

$a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}.$. 

Ta có: $1+1+1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\geq 7\sqrt[7]{\frac{1}{16a^{2}b^{2}}}$

C/m tương tự với 2 số còn lại, sau đó CoSi 3 số là xong.

1, $\frac{1}{(a+b)^{2}}+\frac{1}{(b+c)^{2}}+\frac{1}{(a+c)^{2}}\geq \frac{3\sqrt[3]{3abc(a+b+c)}(a+b+c)^{2}}{4(ab+bc+ca)^{2}}$

2,Cho: a+b+c=$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$. Chứng minh rằng:

                            $(ab+bc+ca)(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})^{2}\geq 27$

Ta cần chứng minh:

$\dfrac{a+1}{ab+1}+\dfrac{b+1}{bc+1}+\dfrac{c+1}{ca+1}\ge 3$.

 

Dùng AM-GM 3 số cho vế trái ta quy về chứng minh:

 

$(a+1)(b+1)(c+1)\ge (ab+1)(bc+1)(ca+1)$

 

$\Leftrightarrow abc+a+b+c+ab+bc+ca+1\ge a^2b^2c^2+abc(a+b+c)+ab+bc+ca+1$

 

$\Leftrightarrow abc(abc-1)+(a+b+c)(abc-1)\ge 0$

 

BĐT cuối đúng do $3=a+b+c\ge \sqrt[3]{abc}$ nên $abc \le 1$.

Cảm ơn nhiều nhé!!

Cộng thêm 3 vào mỗi nhân tử ta được $\Leftrightarrow \sum \frac{3(a+1)}{ab+1}\geq 9$

Đến đây bạn tự giải tiếp nhé

Tớ cũng đến đó rồi , giải cụ thể ra cái

Cho a+b+c=3.Chứng minh rằng:

a,$\frac{a(a-2b+c)}{ab+1}+\frac{b(b-2c+a)}{bc+1}+\frac{c(c-2a+b)}{ca+1}\geqslant 0$

b,$\frac{1}{1+bc}+\frac{1}{1+ca}+\frac{1}{1+ab}\geq \frac{9}{2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})}$