Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


chanhquocnghiem

Đăng ký: 27-09-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#739641 Hỏi có bao nhiêu cách để 1 lớp khi kết thúc giải có thành tích là 5 trận thắn...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 12-09-2020 - 15:12

Không đơn giản thế đâu

cần phải có thêm điều kiện để ko đội nào khác thắng trên 5 trận mới dành được chức vô địch

Bạn hãy đọc kỹ đề đi. Đề chỉ hỏi có bao nhiêu cách để một đội nào đấy (ví dụ đội $A$ chẳng hạn) kết thúc giải với "$5$ thắng, $1$ hòa, $4$ thua" (chứ không hề nói đội $A$ đó đoạt chức vô địch)
 




#739638 Hỏi có bao nhiêu cách để 1 lớp khi kết thúc giải có thành tích là 5 trận thắn...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 12-09-2020 - 09:33

Một trường trung học tổ chức giải đấu bóng đá gồm 10 trận đấu. Hỏi có bao nhiêu cách để 1 lớp khi kết thúc giải có thành tích là 5 trận thắng 4 trận thua và 1 trận hòa

Sửa lại đề cho rõ ràng :

Giải vô địch bóng đá ở một trường có $11$ đội tham dự. Mỗi đội sẽ lần lượt thi đấu với $10$ đội còn lại. Theo kết quả bốc thăm, đội $A$ sẽ lần lượt gặp các đội $B,C,D,E,F,G,H,I,J$ và $K$. Hỏi có bao nhiêu cách để khi kết thúc giải, đội $A$ có thành tích $5$ thắng, $1$ hòa, $4$ thua ?

 

GIẢI :

+ Chọn "số thứ tự" của trận hòa (nói cách khác là "chọn đội hòa với $A$") : $C_{10}^1=10$ cách.

+ Chọn "số thứ tự" của $4$ trận thua (nói cách khác là "chọn $4$ đội thắng đội $A$") : $C_9^4=126$ cách.

Vậy số cách thỏa mãn điều kiện đề bài là : $10.126=1260$ cách.
 




#739608 Tính số tam giác không cân được tạo thành từ $n$ que diêm cho trước

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 11-09-2020 - 11:11

Giả sử có $n$ que diêm mà độ dài của chúng lần lượt là 1$,2,….n$. Hỏi có bao nhiêu tam giác không cân được tạo thành từ $3$ trong số các que diêm đó ?

Vì không có $2$ que diêm nào bằng nhau nên số tam giác không cân được tạo thành cũng chính là số tam giác được tạo thành. Ta chỉ cần tính số tam giác (tạm gọi là $T$) được tạo thành từ $3$ trong $n$ que diêm đã cho :

Gọi độ dài $3$ cạnh tam giác là $a,b,c$ ($a> b> c$). Xét $2$ trường hợp :

1) $n$ chẵn ($n=2k$)

+ $c=1$ : Không có tam giác nào.

+ $c=2$ : Có $(2k-3)$ tam giác.

+ $c=3$ : Có $(2k-4)+(2k-5)$ tam giác.

+ $c=4$ : Có $(2k-5)+(2k-6)+(2k-7)$ tam giác.

......................................................

+ $c=k$ : Có $(k-1)+(k-2)+...+1$ tam giác.

+ $c=k+1$ : Có $(k-2)+(k-3)+...+1$ tam giác.

+ $c=k+2$ : Có $(k-3)+(k-4)+...+1$ tam giác.

......................................................

+ $c=2k-2$ : Có $1$ tam giác.

$\Rightarrow T=\left [ 1+2+...+(2k-3) \right ]+\left [ 1+2+...+(2k-5) \right ]+\left [ 1+2+...+(2k-7) \right ]+...+1$

$=(k-1)(2k-3)+(k-2)(2k-5)+(k-3)(2k-7)+...+1.1=(k-1)^3-\left [ 1^2+2^2+...+(k-2)^2 \right ]$

$=\frac{k(k-1)(4k-5)}{6}=\frac{n(n-2)(2n-5)}{24}=\frac{2n^3-9n^2+10n}{24}$

 

2) $n$ lẻ ($n=2k+1$)

+ $c=1$ : Không có tam giác nào.

+ $c=2$ : Có $(2k-2)$ tam giác.

+ $c=3$ : Có $(2k-3)+(2k-4)$ tam giác.

+ $c=4$ : Có $(2k-4)+(2k-5)+(2k-6)$ tam giác.

......................................................

+ $c=k$ : Có $k+(k-1)+...+2$ tam giác.

+ $c=k+1$ : Có $(k-1)+(k-2)+...+1$ tam giác.

+ $c=k+2$ : Có $(k-2)+(k-3)+...+1$ tam giác.

......................................................

+ $c=2k-1$ : Có $1$ tam giác.

$\Rightarrow T=\left [ 1+2+...+(2k-2) \right ]+\left [ 1+2+...+(2k-4) \right ]+\left [ 1+2+...+(2k-6) \right ]+...+[1+2]$

$=(k-1)(2k-1)+(k-2)(2k-3)+(k-3)(2k-5)+...+1.3=(k-1)k^2-\left [ 1^2+2^2+...+(k-1)^2 \right ]$

$=\frac{k(k-1)(4k+1)}{6}=\frac{(n-1)(n-3)(2n-1)}{24}=\frac{2n^3-9n^2+10n-3}{24}$

 

Kết hợp cả hai trường hợp ($n$ chẵn và $n$ lẻ), ta có :

$T=\left \lfloor \frac{2n^3-9n^2+10n}{24} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{n(n-2)(2n-5)}{24} \right \rfloor$.




#739063 A, B, C, D chạy quanh một sân vận động.

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 28-08-2020 - 15:06

Thứ tự xuất phát: A - B - C - D.

Ta thấy rằng nếu 2 người vượt nhau một số lẻ lần thì người xuất phát sau sẽ về trước, còn nếu 2 người vượt nhau số chẵn lần thì người xuất phát trước sẽ về trước. Do đó:

B về trước A. 

D về trước A.

D về trước B. 

C về trước D. 

Vậy thứ tự về đích là C - D - B - A.

Nếu chạy trên đường thẳng thì có thể lập luận như thế, nhưng chạy quanh sân vận động nhiều vòng thì... chưa chắc !

Thử xét trường hợp Thỏ chạy thi với Ốc sên $8$ vòng quanh sân vận động. Cả hai xuất phát từ cùng một điểm nhưng Ốc sên xuất phát trước Thỏ $1$ phút. Biết rằng trong quá trình chạy, chúng vượt qua nhau $8$ lần. Vậy có thể chắc chắn là Ốc sên về đích trước hay không ?
 




#738778 $C_{n+1}^{k+1}=\sum_{m=k}^{n}C_{m}^{k}$

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-08-2020 - 14:12

$\mathbb{C}\begin{matrix} k+1 & & \\n+1 & & \end{matrix}=\mathbb{C}\begin{matrix} k & \\n & \end{matrix}+\mathbb{C}\begin{matrix} k & \\n-1 & \end{matrix}+...+\mathbb{C}\begin{matrix} k & \\k+1 & \end{matrix}+\mathbb{C}\begin{matrix} k & \\k & \end{matrix}$ với $n> k\geq 1$

Áp dụng công thức $C_n^p=C_{n-1}^{p-1}+C_{n-1}^p$ nhiều lần, ta có :

$C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C_n^{k+1}$

           $=C_n^k+C_{n-1}^k+C_{n-1}^{k+1}$

           $=C_n^k+C_{n-1}^k+C_{n-2}^k+C_{n-2}^{k+1}$

           $=...$

           $=C_n^k+C_{n-1}^k+C_{n-2}^k+...+C_{k+2}^{k+1}$

           $=C_n^k+C_{n-1}^k+C_{n-2}^k+...+C_{k+1}^k+C_{k+1}^{k+1}$

           $=C_n^k+C_{n-1}^k+C_{n-2}^k+...+C_{k+1}^k+C_k^k$

 




#738748 Tính xắc suất để lấy được một số chia hết cho 15.

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 22-08-2020 - 06:59

Từ các số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 lập các số tự nhiên gồm 4 chữ số . Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập. Tính xắc suất để lấy được một số chia hết cho 15.

                                                                                                Giải 

Gọi số đó là $\overline{abcd}$, vì $\overline{abcd}\vdots 15=>\left\{\begin{matrix} d\vdots 5\\ (a+b+c+5)\vdots 3 \end{matrix}\right.$

$(a+b+c+5)\vdots 3=> (a+b+c):3 du 1$

a, b đều có 9 cách chọn.

Xét 3 TH:

+ TH1:Nếu a+b chia hết cho 3 thì $c\in {2,6,8}$

+TH2:Nếu  a+b chia 3 dư 1 thì $c\in {1,4,7}$

+TH3: Nếu a+b chia 3 dư 2$c\in {3,6,9}$

Suy ra: c có 3 cách chọn

Do đó, có số cách chọn số thỏa mãn đề bài là : 9.9.3=243

Mình ko hiểu sao lại 3 cách chọn c ạ, phải là 9 cách chứ, nếu 3 thì phải là 3 cách chọn cho mỗi trường hợp chứ ạ? Mong mọi người giải thích giùm mình với ! Mình cảm ơn nhiều lắm!

Sau khi đã chọn $a$ và $b$ rồi thì tổng a+b đã được xác định. Lúc đó CHỈ XẢY RA 1 TRONG 3 TRƯỜNG HỢP đã nêu. Mà dù xảy ra trường hợp nào (TH1, TH2 hay TH3) thì cũng chỉ có đúng $3$ cách chọn $c$ mà thôi (chứ làm gì có tới $9$ cách)
 

-----------------------------------------------------

Mà "xác suất" chứ không phải "xắc suất" nha em !




#738244 f(x) = (x + 1)(x + 2)...(x + 2019)(x + 2020) có bao nhiêu điểm cực trị?

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 11-08-2020 - 15:04

Cho em hỏi, nếu có nghiệm kép thì số cực trị sẽ bị ảnh hưởng như thế nào ạ?

Em ví dụ với bài dưới này ạ:
Với bài em ví dụ thì $f(x)$ có 4040 nghiệm và 1 nghiệm kép x=0, limx->±∞f(x) = +∞ . Vậy làm sao để biết số cực tiểu và số cực đại và tại sao lại như vậy ạ? Mong anh giải đáp cho :(

Hàm số $f(x)=x^2(x^2-1)(x^2-2)(x^2-3)...(x^2-2020)$ có bao nhiêu điểm cực trị ?

----------------------------------------

Dễ thấy hàm số này có $4040$ nghiệm đơn và $1$ nghiệm kép ($x=0$)

Đồ thị và trục hoành có $4041$ điểm chung, có hoành độ là $-\sqrt{2020};-\sqrt{2019};-\sqrt{2018};...;-1;0;1;...;\sqrt{2019};\sqrt{2020}$

Bây giờ, tại lân cận của mỗi nghiệm kép, ta giả sử đồ thị "đi xuống" (hoặc "đi lên") thêm một chút sao cho mỗi nghiệm kép được thay bằng $2$ nghiệm đơn. Lúc đó, giữa 2 nghiệm đơn liên tiếp có đúng $1$ cực trị, suy ra số điểm cực trị bằng số nghiệm đơn trừ đi $1$.

Đối với bài đang xét, ta quy đổi $1$ nghiệm kép bằng $2$ "nghiệm đơn" $\rightarrow 4042$ nghiệm đơn.

Vậy số điểm cực trị là $4041$.

Vì $\lim_{x\to\pm \infty}f(x)=+\infty$ suy ra có $2021$ điểm cực tiểu và $2020$ điểm cực đại.

 

====================================

Tương tự, có thể tính được hàm số $f(x)=\left [ x(x-1)(x-2)(x-3)...(x-2020) \right ]^2$ có $2021$ điểm cực tiểu và $2020$ điểm cực đại.
 




#737694 Có 3 hộp đựng bi

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 28-07-2020 - 09:52

Có 3 hộp đựng bi, hộp thứ nhất đựng 10 bi xanh, hộp thứ hai đựng 5 bi xanh và 5 bi đỏ,
hộp thứ ba đựng 10 bi đỏ. Người ta chọn ngẫu nhiên một hộp, sau đó bốc ngẫu nhiên 2 viên bi
từ hộp đó thì được cả 2 bi màu xanh. Hỏi nếu tiếp tục bốc thêm 1 viên bi nữa ở hộp đó (hai bi đã
bốc trước đó không được trả lại vào hộp) thì xác suất bốc được bi xanh bằng bao nhiêu?

Bước 1 : Chọn ngẫu nhiên $1$ hộp.

Bước 2 : Bốc được $2$ bi xanh từ hộp đã chọn.

Bước 3 : Bốc thêm (không hoàn lại) $1$ bi nữa từ hộp đã chọn.

Gọi $A$ là biến cố chọn được hộp thứ nhất ở bước 1.

       $B$ là biến cố chọn được hộp thứ hai ở bước 1.

       $C$ là biến cố chọn được bi xanh ở bước 3.

$\Rightarrow P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$ ; $P(C/A)=1$ ; $P(C/B)=\frac{3}{8}$

$P(C)=P(C/A).P(A)+P(C/B).P(B)=\frac{11}{16}$.
 




#737245 Thể tích phần đã lồng vào nhau của mỗi hình trụ đường kính $r$/ chi...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 14-07-2020 - 14:30

Thú vị  :)

attachicon.gif30.PNG

Nếu là đề thi trắc nghiệm thì ngại ngần gì mà không chọn $B$ nhỉ ?
 




#736753 $f(1)=0,\int_{0}^{1}f^2(x){\rm d}x=\frac{9}{5},\int_...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 01-07-2020 - 20:54

Ừm, em đang cần tìm $f(x)$ .

Như đã chứng minh, không tồn tại $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện đề bài !
 




#736747 $f(1)=0,\int_{0}^{1}f^2(x){\rm d}x=\frac{9}{5},\int_...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 01-07-2020 - 19:23

Có vô số đó anh
$$\because F(1)- F(0)\equiv [x(x- 1)f(x)]_{0}^{1}:= 0$$

Vậy tức là $f(x)=?$
 




#736738 $f(1)=0,\int_{0}^{1}f^2(x){\rm d}x=\frac{9}{5},\int_...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 01-07-2020 - 13:24

Em đã phản chứng lời giải của anh bằng dòng thứ $2$ .

Lời giải của mình chính là dùng phản chứng :

 

Giả sử tồn tại hàm $f(x)$ thỏa mãn điều kiện đề bài, tức là :

$\int _0^1\left [ f(x) \right ]^2dx=\frac{9}{5}$
và $-2\int _0^1x^2f(x)dx=-2$

Từ đó suy ra một điều vô lý là $f(x)=x^2$ (bằng cách áp dụng tính chất $\int _0^1\left [ f(x)-g(x) \right ]^2dx=0\Rightarrow \left [ f(x)-g(x) \right ]^2=0\Rightarrow f(x)=g(x)$ mà bạn đã nêu)

Kết luận : Điều giả sử lúc đầu là sai (không tồn tại hàm $f(x)$ thỏa mãn điều kiện đề bài)

 

------------------------------------------------

Muốn phản bác lời giải trên, cần phải chỉ ra một hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài)




#736729 $f(1)=0,\int_{0}^{1}f^2(x){\rm d}x=\frac{9}{5},\int_...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 01-07-2020 - 07:12

$$f(x):= 0\Rightarrow\int_{0}^{1}f(x){\rm d}x= 0$$
$$\lnot\forall\int_{0}^{1}f(x){\rm d}x= 0\rightarrow f(x)= 0$$

Ý bạn là $f(x)=0$ ?
 




#736697 $f(1)=0,\int_{0}^{1}f^2(x){\rm d}x=\frac{9}{5},\int_...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 30-06-2020 - 16:08

 

@HaiDangel

  1. Tìm một vài $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ sao cho \[f(1)= 0, \int_{0}^{1}f^{2}(x){\rm d}x= \frac{9}{5}, \int_{0}^{1}x^{2}f(x){\rm d}x= 1 .\]

 

Từ các điều kiện đề bài, ta có :

$\int _0^1\left [ f(x) \right ]^2dx=\frac{9}{5}$   $(1)$

$-2\int _0^1x^2f(x)dx=-2$                              $(2)$

Mặt khác $\int _0^1\left ( x^2 \right )^2dx=\frac{1}{5}$ $(3)$

(1),(2),(3) $\Rightarrow \int _0^1\left [ f(x)-x^2 \right ]^2dx=0\Rightarrow f(x)=x^2$

Nhưng điều đó là vô lý bởi vì $\int _0^1\left [ f(x) \right ]^2dx\neq \int _0^1\left ( x^2 \right )^2dx$.

Kết luận : Không tồn tại hàm $f(x)$ thỏa mãn các điều kiện đề bài.

 




#736589 $\quad f(2)=0, \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 27-06-2020 - 13:07

Lời giải trên tồn tại một vấn đề là khi $f(x)=-\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}\left [ \ln(x+1)-\ln3 \right ]$ thì $f(1)=-\frac{5}{6}-2\ln\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{5}{18}+\frac{2}{3}\ln\frac{2}{3}}$, và khi $f(x)=\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}\left [ \ln(x+1)-\ln3 \right ]$ thì $f(1)=-\frac{5}{6}-2\ln\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{5}{18}+\frac{2}{3}\ln\frac{2}{3}}$. Nguyên do mâu thuẫn này là giả thiết $f(2)=0$ không thích hợp. Cần loại bỏ giả thiết $f(2)=0$ ra khỏi đề bài. Khi đó lời giải sẽ như sau :

 

$\left\{\begin{matrix}u=f(x)\\dv=\frac{dx}{(x+1)^2} \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}du=f'(x)dx\\v=-\frac{1}{x+1} \end{matrix}\right.$

$\int _1^2 \frac{f(x)}{(x+1)^2}\ dx=\frac{f(x)}{x+1}\ \Bigg|_2^1+\int _1^2 \frac{f'(x)dx}{x+1}=\frac{f(1)}{2}-\frac{f(2)}{3}+\int _1^2 \frac{f'(x)dx}{x+1}=\ln\frac{3}{2}-\frac{5}{12}$

Đặt $\frac{f(1)}{2}-\frac{f(2)}{3}=c$

$\Rightarrow \int _1^2 \frac{f'(x)dx}{x+1}=\ln\frac{3}{2}-\frac{5}{12}-c$

Mặt khác $\int_1^2 \frac{dx}{(x+1)^2}=\frac{1}{6}$

Bây giờ ta tìm $c$ sao cho $\ln\frac{2}{3}+\frac{5}{12}+\left ( \ln\frac{3}{2}-\frac{5}{12}-c \right ).2t+\frac{1}{6}\ t^2=0$ $(^*)$

có nghiệm kép.

Khi đó $\Delta '=0\Rightarrow c=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}\pm \sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}$

Và $\int _1^2[f'(x)+\frac{t}{x+1}]^2dx=0$

$\Rightarrow f'(x)=-\frac{t}{x+1}$

Đến đây sẽ thấy, với mỗi giá trị của $c$, bài toán sẽ có kết quả khác nhau.

+ Với $c=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}$ thì $(^*)$ có nghiệm kép là $t=T=\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}$

   Suy ra $f'(x)=-\frac{\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}}{x+1}\Rightarrow f(x)=-\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}} \ln(x+1)+K=-T\ln(x+1)+K$

   $c=\frac{f(1)}{2}-\frac{f(2)}{3}=\frac{-T\ln2+K}{2}-\frac{-T\ln3+K}{3}=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}=-\frac{T^2}{6}+\frac{T}{6}$

   $\Rightarrow K=T-T^2+3T\ln2-2T\ln3$

   Vậy ta có $f_1(x)=-T\ln(x+1)+T(1+3\ln2-2\ln3)-T^2$

+ Với $c=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}$ thì $(^*)$ có nghiệm kép là $t=-T=-\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}$

   Suy ra $f'(x)=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}}{x+1}\Rightarrow f(x)=\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}} \ln(x+1)+K=T\ln(x+1)+K$

   Tương tự như trên ta tìm được $f_2(x)=T\ln(x+1)-T(1+3\ln2-2\ln3)-T^2$

 

Vậy ta tìm được 2 hàm thỏa mãn điều kiện đề bài :

  $f_1(x)=-T\ln(x+1)+T(1+3\ln2-2\ln3)-T^2$

  $f_2(x)=T\ln(x+1)-T(1+3\ln2-2\ln3)-T^2$

  Trong đó $T=\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}$

Đến đây, việc tính $\int _1^2f(x)dx$ không khó khăn gì (với mỗi hàm sẽ có một kết quả khác nhau)

 

----------------------------------------------------------

Kiểm tra lại :

1) $\int _1^2\left [ f'(x) \right ]^2dx=\int _1^2\frac{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}{(x+1)^2}\ dx=\frac{5}{12}+\ln\frac{2}{3}$ :like

2) $\int _1^2\frac{f(x)}{(x+1)^2}\ dx=\frac{f(x)}{x+1}\Bigg|_2^1+\int _1^2\frac{f'(x)dx}{x+1}=\frac{f(1)}{2}-\frac{f(2)}{3}-\int _1^2\frac{t}{(x+1)^2}\ dx=c-\frac{t}{6}$

   + Với $c=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}$ :

      $\int _1^2\frac{f(x)dx}{(x+1)^2}=c-\frac{t}{6}=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}+\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}=\ln\frac{3}{2}-\frac{5}{12}$ :like

   + Với $c=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}$ :
      $\int _1^2\frac{f(x)dx}{(x+1)^2}=c-\frac{t}{6}=-\frac{5}{12}-\ln\frac{2}{3}-\sqrt{\frac{5}{72}+\frac{1}{6}\ln\frac{2}{3}}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{5}{2}+6\ln\frac{2}{3}}=\ln\frac{3}{2}-\frac{5}{12}$ :like