Đến nội dung


Chú ý

Nếu bạn gặp lỗi trong quá trinh đăng ký thành viên, hoặc đã đăng ký thành công nhưng không nhận được email kích hoạt, hãy thực hiện những bước sau:

  • Đăng nhập với tên và mật khẩu bạn đã dùng kể đăng ký. Dù bị lỗi nhưng hệ thống đã lưu thông tin của bạn vào cơ sở dữ liệu, nên có thể đăng nhập được.
  • Sau khi đăng nhập, phía góc trên bên phải màn hình sẽ có nút "Gửi lại mã kích hoạt", bạn nhấn vào nút đó để yêu cầu gửi mã kích hoạt mới qua email.
Nếu bạn đã quên mật khẩu thì lúc đăng nhập hãy nhấn vào nút "Tôi đã quên mật khẩu" để hệ thống gửi mật khẩu mới cho bạn, sau đó làm theo hai bước trên để kích hoạt tài khoản. Lưu ý sau khi đăng nhập được bạn nên thay mật khẩu mới.

Nếu vẫn không đăng nhập được, hoặc gặp lỗi "Không có yêu cầu xác nhận đang chờ giải quyết cho thành viên đó", bạn hãy gửi email đến [email protected] để được hỗ trợ.
---
Do sự cố ngoài ý muốn, tất cả bài viết và thành viên đăng kí sau ngày 08/08/2019 đều không thể được khôi phục. Những thành viên nào tham gia diễn đàn sau ngày này xin vui lòng đăng kí lại tài khoản. Ban Quản Trị rất mong các bạn thông cảm. Mọi câu hỏi hay thắc mắc các bạn có thể đăng vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để được hỗ trợ. Ngoài ra nếu các bạn thấy diễn đàn bị lỗi thì xin hãy thông báo cho BQT trong chủ đề Báo lỗi diễn đàn. Cảm ơn các bạn.

Ban Quản Trị.


chanhquocnghiem

Đăng ký: 27-09-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#725327 Xác suất để số không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 12-04-2021 - 21:38

Bài toán: Tập $S$ gồm các số tự nhiên có $6$ chữ số khác nhau được thành lập từ các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8$. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $S$. Tính xác suất để số được chọn không có hai chữ số chẵn đứng cạnh nhau.

Nhờ mọi người giải chi tiết bài trên giúp mình.

Xét $2$ trường hợp :

1) Số được chọn có $4$ chữ số lẻ, $2$ chữ số chẵn :

   - Xếp $4$ chữ số lẻ thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $5$ chỗ trống ($4!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($4$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($4$ cách)

       - Điền chữ số chẵn còn lại ($4$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $2$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($6$ cách)

       - Điền $2$ chữ số đó vào ($20$ cách)

 

2) Số được chọn có $3$ chữ số lẻ, $3$ chữ số chẵn :

   - Chọn $3$ chữ số lẻ ($4$ cách)

   - Xếp $3$ chữ số lẻ đó thành một hàng ngang sao cho giữa chúng và 2 đầu có $4$ chỗ trống ($3!$ cách)

     a) Có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn trong đó có chữ số $0$ ($6$ cách)

       - Chọn chỗ trống và điền chữ số $0$ vào ($3$ cách)

       - Điền $2$ chữ số chẵn còn lại ($6$ cách)

     b) Không có chữ số $0$ :

       - Chọn $3$ chữ số chẵn khác $0$ trong $4$ chữ số ($4$ cách)

       - Điền $3$ chữ số đó vào ($24$ cách)

 

Xác suất cần tính : $\frac{4!(4^3+120)+4.3!(6.3.6+4.24)}{8.P_8^5}=\frac{97}{560}$.

 

    
 




#725267 Từ phương trình $\sqrt{2}$ (sinx + cosx) = tanx + co...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 11-04-2021 - 20:55

Từ phương trình $\sqrt{2}$ (sinx + cosx) = tanx + cotx, ta tìm được cosx bằng bao nhiêu?

Đặt $A=\sqrt{2}\ (\sin x+\cos x)$ và $B=\tan x+\cot x$

$A^2=2(1+2\sin x\cos x)=2+4\sin x\cos x\leqslant 2+4\left ( \frac{\sin^2x+\cos^2x}{2} \right )=4\Rightarrow |A|\leqslant 2$
$B^2=\tan^2x+\cot^2x+2\geqslant 2\tan x\cot x+2=4\Rightarrow |B|\geqslant 2$

Vậy ta có :

$\left\{\begin{matrix}A\in \left [ -2;2 \right ]\\B\in (-\infty;-2]\cup [2;+\infty)\\A=-2\Leftrightarrow \sin x=\cos x< 0\\B=-2\Leftrightarrow \sin x=-\cos x\\A=2\Leftrightarrow \sin x=\cos x> 0\\B=2\Leftrightarrow \sin x=\cos x \end{matrix}\right.\Rightarrow$ phương trình đã cho chỉ có nghiệm khi $\sin x=\cos x> 0$ hay $\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$.




#725224 Tìm GTNN của $n$.

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 11-04-2021 - 09:58

Cho số tự nhiên $x$. Đổi chỗ các chữ số của $x$ theo một cách bất kì nào đó ta được $y$. Giả sử $|x-y|=\overset{\underbrace{2222.......22}}{\text{n chu so 2}}$. Tìm GTNN của $n$.

Dễ thấy $\left | x-y \right |\ \vdots\ 9\Rightarrow$ GTNN của $n$ là $222222222$.

Ví dụ một trường hợp : $\left\{\begin{matrix}x=246913580\\y=024691358 \end{matrix}\right.$ (còn vô số trường hợp khác nữa)
 




#725206 Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 10-04-2021 - 21:58

Cho f(x) là hàm liên tục trong khoảng [a;b] và $a\leq f(x)\leq b\forall x\in [a;b]$. Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in [a;b]$ sao cho $f(x_{0})=x_{o}$

Xét $2$ trường hợp :

1) $f(a)=a$ hoặc $f(b)=b$ : Khi đó $a$ (hoặc $b$) chính là điểm $x_0$ cần tìm.

2) $f(a)> a$ và $f(b)< b$ :

    Xét hàm $g(x)=f(x)-x$ (rõ ràng hàm này cũng liên tục trên $[a;b]$)

    $\left\{\begin{matrix}g(a)=f(a)-a> 0\\g(b)=f(b)-b< 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow g(a).g(b)< 0\Rightarrow \exists x_0\in (a;b):g(x_0)=0$

    $\Rightarrow \exists x_0\in (a;b):f(x_0)=x_0$ (điều phải chứng minh)
 




#724893 Chứng minh trong 9 số có x, y sao cho xy là số chính phương

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 03-04-2021 - 20:14

Có 9 số tự nhiên. Đặt $A =$ tích của 9 số đó. Biết số ước nguyên tố phân biệt của A là 3. 

 

Chứng minh rằng trong 9 số có 2 số $x, y$ sao cho $xy$ là số chính phương.

 

Nhờ mọi người giúp đỡ ạ! Mình cảm ơn!

Gọi $9$ số tự nhiên đó là $A_1,A_2,A_3,...,A_9$.

$A=\prod_{i=1}^{9}A_i=p^{a}q^{b}r^{c}$ (với $p,q,r$ là các số nguyên tố phân biệt và $a,b,c$ là số nguyên dương)

Đặt $A_i=p^{a_i}q^{b_i}r^{c_i}$ (với $a_i,b_i,c_i$ là các số nguyên không âm)

Với mỗi số $A_i$, ta xét tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$.

Dễ thấy rằng có tất cả $2^3=8$ dạng : $(L,L,L);(L,L,C);...;(C,C,C)$

Vậy với $9$ số $A_i$, theo nguyên lý Dirichlet, chắc chắn có ít nhất $2$ số có cùng dạng (tức là có cùng tính chẵn lẻ của bộ ba $(a_i,b_i,c_i)$ $\Rightarrow$ tích của $2$ số này là số chính phương.
 




#724714 Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 29-03-2021 - 08:54

Trong mặt phảng tọa độ $OXY$, cho parabol $(P): y=x^2+px+q$  $(q \neq 0 )$. Biết rằng $(P)$ cắt trục $Ox$ tại hai điểm $A, B$ và cắt trục $Oy$ tại $C$. Chứng minh rằng khi $p$ và $q$ thay đổi, đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định.

Giả sử $A\left ( \frac{-p-\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $B\left ( \frac{-p+\sqrt{p^2-4q}}{2};0 \right )$ ; $C(0;q)$

Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_I=-\frac{p}{2}$.

$IA^2=IB^2=\left ( \frac{\sqrt{p^2-4q}}{2} \right )^2+(y_I)^2$

$IC^2=\left ( \frac{p}{2} \right )^2+(q-y_I)^2$

$\Rightarrow \frac{p^2-4q}{4}+(y_I)^2=\frac{p^2}{4}+q^2+(y_I)^2-2qy_I\Rightarrow y_I=\frac{q+1}{2}$

Gọi $CD$ là dây cung vuông góc với trục $Ox$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC\Rightarrow x_D=x_C=0$.

       $M$ là trung điểm của $CD$.

$IM\perp CD\Rightarrow IM//Ox\Rightarrow y_M=y_I=\frac{q+1}{2}\Rightarrow y_D=2y_M-y_C=1$.

$\Rightarrow$ đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ luôn đi qua điểm cố định $D(0;1)$.




#724549 Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 08-08-2019 - 03:42

Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 và 5 không đứng cạnh nhau

Số các số tự nhiên có 5 chữ số phân biệt được lập từ tập đã cho : $6.6.5.4.3=2160$

1) Chọn $3$ phần tử từ tập $\left \{ 0,1,3,4,6 \right \}$ và sắp xếp lại : Có $60$ cách, trong đó có $48$ cách có phần tử đầu tiên khác $0$

     (Giữa $3$ phần tử đó và $2$ đầu có tất cả $4$ khoảng trống)

2) Điền phần tử $M$. Có $2$ trường hợp :

   + Nếu phần tử đầu tiên khác $0$ : Điền phần tử $M$ vào một trong $4$ khoảng trống : ($4$ cách)

   + Nếu phần tử đầu tiên là $0$ : Điền phần tử $M$ vào trước phần tử $0$ ($1$ cách)

3) Thay phần tử $M$ bằng $\overline{25}$ hoặc $\overline{52}$ : ($2$ cách)

 

Vậy đáp án là $2160-(48.4+12.1).2=1752$ số.




#724443 Tính góc

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 02-08-2019 - 01:41

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA'=$a\frac{\sqrt{10}}{4}$, AC=$a\sqrt{2}$, BC=a, $\widehat{ACB}$= $135^{\circ}$. Hình chiếu của C' lên mặt phẳng (ABC) trùng vs trung diem M cua AB. Tinh goc tao boi duong thang C'M va mat phang (ACC'A')

Làm thế nào ạ? Nhờ mọi người giúp, xin cảm ơn!

$MK=\frac{AC}{4}=\frac{a\sqrt2}{4}$

$C'K=\sqrt{C'C^2-CK^2}=\sqrt{C'C^2-MK^2}=\frac{a\sqrt2}{2}$

Gọi $\alpha$ là góc cần tìm.

$\sin\alpha =\sin \widehat{MC'K}=\frac{MK}{C'K}=\frac{1}{2}\Rightarrow \alpha =30^o$.




#724442 $$(6+ 9)\cdot \frac{{\rm d}}...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 02-08-2019 - 00:57

$$7\cdot 9- 6!!= 15 \tag{6 , 9 , 7 t o 1 5}$$

 

$$\frac{9!!}{7!!}+ 6= 15 \tag{6 , 9 , 7  t o  1 5}$$

 

$$(6+ 9)\cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(x)_{|x= 7}= 15 \tag{6 , 9 , 7  t o  1 5}$$

$7\sqrt{9}-6=15$

$\left \lfloor \sqrt9(\sqrt6+\sqrt7) \right \rfloor=15$

$\sqrt9\left \lfloor \sqrt6+\sqrt7 \right \rfloor=15$                                                   $(6,7,9\ to\ 15)$




#724364 $$(6+ 9)\cdot \frac{{\rm d}}...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 31-07-2019 - 08:25

$$(6+ 9)\cdot \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}(7)= 15 \tag{6 , 9 , 7  t o  1 5}$$

Mình nghĩ là $\frac{d}{dx}(7)=0$




#724276 $${\rm coef}[(1+x+x^{\,2}+x^{...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 28-07-2019 - 18:04

 

Tìm hệ số (coefficient) của $x^{\,{\it 2021}}$ sau khi khai triển

$$\left ( {\it 1}+ x+x^{\,{\it 2}}+ x^{\,{\it 3}}+ \,...\,+ x^{\,{\it 2020}} \right )^{\,{\it 2020}}$$

 

 

:like Anh (thầy) gợi ý cho em nếu như em muốn dùng $(1+ x+ x^{2}+ etc+ x^{m})^{n}= (1- x^{m+ 1})^{n}(1- x)^{- n}$, em cảm ơn nhiều. [email protected]

Hệ số cần tìm chính là số nghiệm nguyên của hệ phương trình :

$\left\{\begin{matrix}t_1+t_2+t_3+...+t_{2020}=2021\\0\leqslant t_i\leqslant 2020\ (i=\overline{1,2020}, t_i\in \mathbb{Z}) \end{matrix}\right.$

Và bằng $C_{4040}^{2019}-2020$.

 

-----------------------------------------------------------

Mình chỉ là một người yêu thích toán, không phải thầy gì đâu, đừng gọi là thầy, ngại lắm  :D  :D  :D




#723874 Bài toán đếm

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 17-07-2019 - 21:57

CHo mình hỏi trong bài này đầu bài không nêu rõ b=c không.

Mình ra kết quả là 100C3.VÌ khi chọn 3 phần tử bất kì thì luôn sắp được thứ tự của chúng.

Nhưng kết quả là 328350.

Mong các cao thủ giải thích sao kết quả của mình sai ạ.Mình cảm ơn

Xét 2 trường hợp :

1) $a,b,c$ khác nhau từng đôi một :

    + Chọn $3$ phần tử khác nhau từng đôi một từ tập $X$ : $C_{100}^3$ cách

    + Sắp xếp $3$ phần tử vừa chọn sao cho phần tử nhỏ nhất đứng ở vị trí đầu : $2$ cách.

2) $a< b=c$ :

    + Chọn $2$ phần tử $a,b$ từ $X$ sao cho $a< b$ : $C_{100}^2$ cách.

 

Vậy đáp án là $2C_{100}^3+C_{100}^2=328350$.




#723872 Chứng minh bất đẳng thức số học $c[ \frac{c}{ab...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 17-07-2019 - 21:24

Bác vui lòng giải thích giúp mình vì sao c<b thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng ạ! Xin cám ơn!

$c< b$ thì $c< ab$, dẫn đến $\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{c}{ab} \right \rfloor=0$.

Do đó bất đẳng thức đã cho trong đề bài hiển nhiên đúng (vì vế trái bằng $0$, còn vế phải dương)




#723844 Chứng minh bất đẳng thức số học $c[ \frac{c}{ab...

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 17-07-2019 - 09:11

Do vai trò của $a$ và $b$ đối xứng nhau nên ta có thể giả sử bất đẳng thức với $a\leqq b$ và chứng minh như sau:

$$\begin{equation}\begin{split} \frac{c}{b}+ \left \lfloor \frac{c}{a} \right \rfloor\left \lfloor \frac{c}{b} \right \rfloor\geqq c\left \lfloor \frac{c}{a\cdot b} \right \rfloor \end{split}\end{equation}$$

Đặt $c= kab+ d$ với $k\geqq 0$ và $0\leqq d\leqq ab$ thì vế phải của $({\text{1}})$ trở thành $(kab+ d)k= k^{2}ab+ dk$. Xét $c< b$ thì bất đẳng thức đã cho hiển nhiên đúng.

Xét $c\geqq b$ thì $\frac{c}{b}+ \lfloor\!\frac{c}{a}\!\rfloor\lfloor\!\frac{c}{b}\!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b}\!\rfloor>ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ \frac{d}{a}- 1\!)(\!ka+ \frac{d}{b}- 1\!)=$$abk^{2}+ kd+ \left (\!k(\!d- b\!)+ \frac{d}{a}\left (\!\frac{d}{b}- 1\!\right )+ 1\!\right )$

Nếu $d\geqq b$ thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu $d\leqq b$ thì đặt $d= ma+ n$ với $m\geqq 0, 0\leqq n< a$ thì $ka+ \frac{d}{b}+ \lfloor\!kb+ \frac{d}{a}\!\rfloor\lfloor\!ka+ \frac{d}{b} \!\rfloor=$$ka+ \frac{d}{b}+ (\!kb+ m\!)ka\geqq abk^{2}+ k(\!ma+ n\!)=$$abk^{2}+ kd$

Sửa lại một chút ở dòng thứ ba : $0\leqslant d\leqslant ab-1$

Và dòng thứ tám : $d< b$




#723389 Thắc mắc về tính chất số học

Gửi bởi chanhquocnghiem trong 29-06-2019 - 00:55

Mọi người ơi mình thấy tính chất sau sai sai

A,B,C nguyên dương

Nếu C/A.B mà C không là ước của A thì C là ước của B

VD như 2.3/6 mà 6 không là ước của 2 không là ước của 3

Không có tính chất đó đâu nhé !

Nguyên văn nó là thế này :

"Nếu $a$ và $b$ là 2 số nguyên tố cùng nhau và $a$ là ước của tích $bc$ thì $a$ là ước của $c$.