chanhquocnghiem

Tìm tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau là số chẵn và chia hết cho 3. 

Nhiều lắm, có phải kể ra hết không ? 

--------------------------------

Gọi $A=\left \{ 0;3;6;9 \right \}$ ; $B=\left \{ 1;4;7 \right \}$ ; $C=\left \{ 2;5;8 \right \}$

Các số thỏa mãn ĐK đề bài có dạng $\overline{abcde}=10R+e$ với $R=\overline{abcd}$.

Xét 2 trường hợp :

$I$- Trong $5$ chữ số (cs) có cs $0$ :

 $1)$ $e=0$ : 

   $a)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $3.3.3.4!=648$ số.

   $b)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $B$ : Có $3.1.4!=72$ số.

   $c)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $C$ : Có $3.1.4!=72$ số.

   $d)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $B$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $3.3.4!=216$ số.

 $2)$ $e=6$ :

   $a)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $2.3.3.3.3!=324$ số.

   $b)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $B$ : Có $1.1.3.3!=18$ số.

   $c)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $C$ : Có $1.1.3.3!=18$ số.

   $d)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $B$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $3.3.4!=216$ số.

 $3)$ $e=4$ :

   $a)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $B$ : Có $3.1.3.3!=54$ số.

   $b)$ $R$ gồm $3$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $3.3.3.3!=162$ số.

   $c)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $1.2.3.3.3!=108$ số.

 $4)$ $e\in \left \{ 2;8 \right \}$ :

   $a)$ $R$ gồm $3$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$ : Có $2.3.3.3.3!=324$ số.

   $b)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $B$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $2.1.3.2.3.3!=216$ số.

   $c)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $2.3.1.3.3!=108$ số.

$II$- Trong $5$ cs, không có cs $0$ :

 $1)$ $e=6$ :

   $a)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $1.3.3.4!=216$ số.

   $b)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $B$ : Có $2.1.4!=48$ số.

   $c)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $3$ cs thuộc $C$ : Có $2.1.4!=48$ số.

   $d)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $B$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $3.3.4!=216$ số.

 $2)$ $e=4$ :

   $a)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $B$ : Có $3.1.4!=72$ số.

   $b)$ $R$ gồm $3$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $1.3.4!=72$ số.

   $c)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $3.2.3.4!=432$ số.

 $3)$ $e\in \left \{ 2;8 \right \}$ :

   $a)$ $R$ gồm $3$ cs thuộc $A$, $1$ cs thuộc $B$ : Có $2.1.3.4!=144$ số.

   $b)$ $R$ gồm $1$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $B$, $1$ cs thuộc $C$ : Có $2.3.3.2.4!=864$ số.

   $c)$ $R$ gồm $2$ cs thuộc $A$, $2$ cs thuộc $C$ : Có $2.3.1.4!=144$ số.

Tổng cộng có $4812$ số thỏa mãn ĐK đề bài.

Untitled.png

Cho đường gấp khúc như hình

Thực hiện lấy trung điểm tất cả các cạnh, dựng hình vuông mới rồi xóa đi góc trên bên phải của hình vuông mới

Gọi $n$ là số đoạn nằm ngang của đường gấp khúc, $l$ là độ dài đường gấp khúc

Ta thấy khi $n\rightarrow\infty$ thì đường gấp khúc trở thành đoạn thẳng

Mà đường gấp khúc luôn có độ dài bằng $2$, suy ra $\lim_{n\rightarrow\infty}l=2$

Suy ra đoạn thẳng có độ dài bằng $2$ !

 

Spoiler

bài này ở đâu đó mình chỉ nhớ lại, ai biết nó ở đâu nói mình với

Đặt tên đường gấp khúc (khi $n=k$) là $A_0B_0A_1B_1A_2B_2...B_{k-1}A_k$.Độ dài đường gấp khúc là $l$.

Sai lầm của "tác giả" ở chỗ cho rằng khi $n\rightarrow\infty$ thì :

$A_0A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(A_0B_0+B_oA_1+A_1B_1+...+B_{n-1}A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}l=2$

Thật ra, các dấu bằng thứ hai và thứ ba đúng nhưng dấu bằng đầu tiên là sai (tức là $\lim_{n\rightarrow\infty}l=2\neq A_0A_n$)

Còn độ dài đường chéo $A_0A_n$ khi đó phải tính như sau :

$A_0A_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(A_0A_1+A_1A_2+...+A_{n-1}A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} \left [n.A_0A_1 \right]$

$=\lim_{n\rightarrow\infty} \left [n.\sqrt{A_0B_0^2+B_0A_1^2} \right]=\lim_{n\rightarrow\infty} \left [n\sqrt{\frac{2}{n^2}} \right]=\sqrt{2}$.

     Bí mật về số điện thoại và tuổi.

1. Lấy hai số cuối của số điện thoại mà bạn sở hữu. 

2. Nhân số đó cho 2 

3. Kết quả đó cộng cho 5 

4. Rồi nhân thêm cho 50 

5. Lấy kết quả cộng thêm cho 1764

6. Bước kế tiếp, lấy kết quả đã có trừ cho năm sinh của bạn

7. Đến đây, bạn còn lại 3 số:

- Hai số đầu là số cuối điện thoại bạn sở hữu.

- Còn lại 2 số sau là số tuổi của bạn.

Nguồn bài viết: http://thegioitinhoc...l#ixzz3tMjhWrOC 
Link gốc: http://thegioitinhoc.vn 

Giả sử tuổi của người đang xét là $\overline{ab}$ ; 2 chữ số điện thoại cuối của người đó là $\overline{cd}$.

1- Lấy 2 chữ số điện thoại cuối : $x=\overline{cd}$

2- Nhân số đó cho $2$ ---> $2\ x$

3- Cộng cho $5$ ---> $2\ x+5$

4- Lại nhân với $50$ ---> $100\ x+250$

5- Lại cộng thêm $1765$ (không phải 1764) ---> $100\ x+2015$

6- Trừ đi năm sinh ---> $100\ x+(2015-nam\ sinh)=100\ x+tuoi\ cua\ nguoi\ dang\ xet=\overline{cdab}$

7- Đến đây được số $\overline{cdab}$ (có 4 chữ số trong đó chữ số đầu có thể bằng $0$ hoặc khác $0$)

    Rõ ràng $\overline{cd}$ là 2 chữ số điện thoại cuối, còn $\overline{ab}$ là tuổi của người đang xét.

Lưu ý :

a) Cách "đoán tuổi" này chỉ đúng với năm nay (2015), nếu sang năm sau mà vẫn bê nguyên xi cách này, không biết "hiệu chỉnh" thì ... ''bể dĩa''

b) Cách này sẽ không đúng nếu người đang xét từ $100$ tuổi trở lên.

Bài toán: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có điểm $I(1;\frac{1}{2})$ là giao điểm hai đường chéo,M(3;2) là trung điểm cạnh AD. Xác định tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD, biết đường thẳng AB đi qua điểm E(2;5) và đỉnh B thuộc đường thẳng $d:x+y+3=0$

Vector chỉ phương của $AB$ là $\overrightarrow{IM}=\left \{ 2;\frac{3}{2} \right \}\Rightarrow$ pt đường thẳng AB có dạng : $AB:3x-4y+c=0$

$E(2;5)\in AB\Rightarrow c=14\Rightarrow AB:3x-4y+14=0$

$B=AB\cap d\Rightarrow B\left ( -\frac{26}{7};\frac{5}{7} \right )$

$\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{ID}\Rightarrow D\left ( \frac{40}{7};\frac{2}{7} \right )$

$\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{MA}\Rightarrow A\left ( \frac{2}{7};\frac{26}{7} \right )$

$I\left ( 1;\frac{1}{2} \right )$ là trung điểm $AC$

(hoặc $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$)

$\Rightarrow C\left ( \frac{12}{7};-\frac{19}{7} \right )$

Bài toán: Hãy tính $\sum\limits_{k = 0}^\infty  {\frac{{{2^k}}}{{\sum\limits_{i = 0}^k {{{\left( {1 + \sqrt 5 } \right)}^{k - i}}{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^i}} }}} $.

Đặt $S=\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i$.

Ta thấy $S$ là tổng của $k+1$ số hạng đầu của 1 cấp số nhân có $u_1=\left ( 1+\sqrt{5} \right )^k$ và $q=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}$

$\Rightarrow S=\frac{u_1(q^{k+1}-1)}{q-1}=...=\frac{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}{2\sqrt{5}}$

$\Rightarrow \frac{2^k}{\sum_{i=0}^{k}(1+\sqrt{5})^{k-i}(1-\sqrt{5})^i}=\frac{2^{k+1}.\sqrt{5}}{(1+\sqrt{5})^{k+1}-(1-\sqrt{5})^{k+1}}=\frac{\sqrt{5}}{\left ( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}-\left ( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right )^{k+1}}=\frac{1}{F_{k+1}}$

trong đó $F_{k+1}$ là số hạng thứ $k+1$ trong dãy Fibonacci.

Vậy tổng cần tính bằng $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{F_{k+1}}=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{F_k}\approx 3,359885...$

(Tham khảo tại :

  https://vi.wikipedia...i/Dãy_Fibonacci)

Giải phương trình : $\log_a (a+1)=\log_{a+1} (a+2)$ với $a>1$

Xét hàm số $f(x)=\log_x (x+1)=\frac{\ln (x+1)}{\ln x}$ trên khoảng $(1;+\infty)$

$f'(x)=\frac{\frac{\ln x}{x+1}-\frac{\ln (x+1)}{x}}{\ln^2 x}< 0$ với mọi $x$ thuộc $(1;+\infty)$

$\Rightarrow f(x)$ đơn điệu giảm trên khoảng $(1;+\infty)$

$\Rightarrow$ phương trình đã cho vô nghiệm trên khoảng $(1;+\infty)$

Cho các chữ số từ 0 đến 9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số  phân biệt sao cho 2 chữ số chẵn kề nhau

Gọi :

$M$ là số số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từng đôi một

$N$ là số số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từng đôi một gồm $1$ chữ số chẵn, $5$ chữ số lẻ

$P$ là số số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từng đôi một gồm $2$ chữ số chẵn, $4$ chữ số lẻ và các chữ số chẵn không kề nhau.

$Q$ là số số tự nhiên lẻ có 6 chữ số khác nhau từng đôi một gồm $3$ chữ số chẵn, $3$ chữ số lẻ và không có 2 chữ số chẵn nào kề nhau.

1) Tính $M$ :

  + Chọn $f$ : $5$ cách

  + Chọn $a$ : $8$ cách

  + Chọn $b,c,d,e$ : $A_8^4=1680$ cách

$\Rightarrow M=5.8.1680=67200$ số.

2) Tính $N$ :

a) Nếu $a$ chẵn :

  + Chọn $a$ : $4$ cách

  + Điền $5$ vị trí còn lại : $5!=120$ cách

b) Nếu $a$ lẻ :

  + Chọn vị trí chẵn : $4$ cách

  + Điền vào vị trí chẵn : $5$ cách

  + Điền $5$ vị trí lẻ còn lại : $5!=120$ cách

$\Rightarrow N=...=2880$ số.

3) Tính $P$ :

a) Nếu $a$ chẵn :

  + Chọn thêm 1 vị trí chẵn : $3$ cách

  + Điền vào 2 vị trí chẵn : $4.4=16$ cách

  + Điền $4$ vị trí lẻ : $A_5^4=120$ cách

b) Nếu $a$ lẻ :

  + Chọn 2 vị trí chẵn và điền vào : $3.A_5^2=60$ cách

  + Điền vào $4$ vị trí lẻ : $120$ cách

$\rightarrow P=...=12960$ số

4) Tính $Q$ : 

  + Điền 3 vị trí chẵn : $4.4.3=48$ cách

  + Điền 3 vị trí lẻ : $5.4.3=60$ cách

$\Rightarrow Q=...=2880$ số

Đáp án là $M-N-P-Q=48480$ số.

Cho 5 đoạn thẳng có độ dài lần lượt là 1(cm) ; 2(cm) ; 3(cm) ; 4(cm) ; 5(cm) . Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong 5 đoạn thẳng đó  . Tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy được tạo thành 1 tam giác

 

 

P/S : Cô giáo mình đã giải bằng cách liệt kê nhưng nếu đề cho nhiều đoạn thẳng hơn thì mình nghĩ cách liệt kê không khả thi. Vậy liệu có cách giải tổng quát cho dạng bài này không " Cho n đoạn thẳng có độ dài khác nhau đôi một . Lấy ngẫu nhiên 3 đoạn thẳng trong n đoạn thẳng đó  . Tính xác suất để 3 đoạn thẳng lấy được tạo thành 1 tam giác "

Xác suất là bao nhiêu còn tùy thuộc độ dài các đoạn thẳng nữa.Ví dụ cho $n$ đoạn thẳng.

+ Nếu độ dài các đoạn thẳng (từ bé đến lớn) là $1;2;3;5;8;13;21;...$ (đoạn sau bằng tổng 2 đoạn liền trước nó) thì xác suất cần tính là $0$.

+ Nếu độ dài các đoạn thẳng (từ bé đến lớn) là $d;d+1;d+2;...;d+n-1$ ($d\in \mathbb{R};d> n-2$) thì xác suất cần tính là $1$

Suy nghĩ thử xem có phải không ?

Bài toán: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC vuông tại A và $AB=2a;AC=a;AA'=3a.$ Mặt phẳng (P) đi qua B và vuông góc với B'C lần lượt cắt các đoạn CC' và AA' tại M,N

1, Tính thể tích C.AA'B

2,Chứng minh: BN vuông góc B'A

3,Tính thể tích B'BMN

4,Tính diện tích BMN 

5,Tìm tỉ số (P) chia khối lăng trụ đã cho thành 2 phần bằng nhau.

1.$V_{C.AA'B}=\frac{1}{6}.AB.AA'.AC=a^3$

2.$B'C$ _|_ $(BMN)$ $\Rightarrow BN$ _|_ $B'C$ $\Rightarrow BN$ _|_ $B'A$ (định lý 3 đường vuông góc)

3.$V_{B'BMN}=\frac{1}{3}S_{BB'N}.d_{(M,(BB'N))}=\frac{1}{6}.3a.2a.a=a^3$

4.Hai tam giác $B'BA$ và $BAN$ đồng dạng.Từ đó suy ra $AN=\frac{4}{3}\ a$

  $B'C$ _|_ $(BMN)$ $\Rightarrow MN$ _|_ $B'C$ $\Rightarrow MN$ _|_ $A'C$ (định lý 3 đường vuông góc)

  Qua $N$, kẻ $NP//AC$ ($P\in CC'$)

  Hai tam giác $A'AC$ và $NPM$ đồng dạng.Từ đó suy ra $PM=\frac{1}{3}\ a$ $\Rightarrow CM=AN+PM=\frac{5}{3}\ a$

  $BN^2=AB^2+AN^2=\frac{52}{9}\ a^2$ ; $MN^2=NP^2+PM^2=\frac{10}{9}\ a^2$ ; $BM^2=BC^2+CM^2=\frac{70}{9}\ a^2$

  $\cos BMN=\frac{BM^2+MN^2-BN^2}{2.BM.MN}=\frac{\sqrt{7}}{5}\Rightarrow \sin BMN=\frac{3\sqrt{2}}{5}$

  $S_{BMN}=\frac{1}{2}.BM.MN.\sin BMN=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{70}}{3}\ a.\frac{\sqrt{10}}{3}\ a.\frac{3\sqrt{2}}{5}=\frac{\sqrt{14}}{3}\ a^2$

5.Câu hỏi chưa rõ ràng.Chắc là tìm tỷ lệ thể tích 2 phần bị phân cách bởi $(P)$ ?

  $V_{B.ANMC}=\frac{1}{3}.S_{AMNC}.AB=\frac{1}{6}.(AN+CM).AC.AB=\frac{1}{6}.3a.a.2a=a^3$

  $V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.AA'=3\ a^3$

  $\Rightarrow (P)$ chia khối lăng trụ thành 2 phần có tỷ lệ thể tích là $2:1$ (phần lớn hơn có thể tích gấp đôi phần nhỏ hơn)

Bài toán : Cho hình chóp S.ABC có các cạnh $SA=a;SB=b;SC=c$ và $\widehat{ASB} =\alpha; \widehat{BSC}=\beta;\widehat{CSA}=\gamma.$ Tính tính thể tích khối chóp.

Đặt $AB=p$ ; $AC=q$ ; $BC=r \Rightarrow \cos ACB=\frac{q^2+r^2-p^2}{2qr}$

$\Rightarrow \sin ACB=\sqrt{1-\frac{(q^2+r^2-p^2)^2}{4q^2r^2}}=\frac{\sqrt{2p^2q^2+2q^2r^2+2r^2p^2-p^4-q^4-r^4}}{2qr}$

Để cho gọn, ta đặt $2p^2q^2+2q^2r^2+2r^2p^2-p^4-q^4-r^4=M$ ($M> 0$).Vậy $\sin ACB=\frac{\sqrt{M}}{2qr}$

$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AC.BC.\sin ACB=\frac{1}{4}\sqrt{M}$

Bây giờ, gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên mặt phẳng $(ABC)$.Ta tính $h=SH$

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$ ta chọn $A\left ( -\frac{a^2+p^2-b^2}{2p};0;0 \right )$ và $B\left ( \frac{b^2+p^2-a^2}{2p};0;0 \right )$ (khi đó $AB=p$)

Tập hợp các điểm trong không gian mà khoảng cách từ đó đến $A$ bằng $a$, đến $B$ bằng $b$ là các điểm có tọa độ thỏa mãn

$\left\{\begin{matrix}\left ( x+\frac{a^2+p^2-b^2}{2p} \right )^2+y^2+z^2=a^2\\\left ( x-\frac{b^2+p^2-a^2}{2p} \right )^2+y^2+z^2=b^2 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=0\\y^2+z^2=a^2-\frac{(a^2+p^2-b^2)^2}{4p^2}=b^2-\frac{(b^2+p^2-a^2)^2}{4p^2}=\frac{2a^2b^2+2b^2p^2+2p^2a^2-a^4-b^4-p^4}{4p^2}=\frac{P}{4p^2} \end{matrix}\right.$

(trong đó $P=2a^2b^2+2b^2p^2+2p^2a^2-a^4-b^4-p^4$ ($P> 0$)

Đây chính là đường tròn $(O)$ có tâm $O(0;0;0)$, bán kính bằng $\frac{\sqrt{P}}{2p}$ nằm trong mặt phẳng $x=0$

Chọn $C$ là điểm có tung độ dương nằm trong mặt phẳng $z=0$ sao cho $AC=q$ và $BC=r$.Hoành độ và tung độ của $C$ phải thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}\left ( x+\frac{a^2+p^2-b^2}{2p} \right )^2+y^2=q^2\\\left ( x-\frac{b^2+p^2-a^2}{2p} \right )^2+y^2=r^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x_C=\frac{q^2-r^2+b^2-a^2}{2p}\\y_C=\frac{\sqrt{2p^2q^2+2q^2r^2+2r^2p^2-p^4-q^4-r^4}}{2p}=\frac{\sqrt{M}}{2p} \end{matrix}\right.$

Điểm $S$ chính là giao điểm của mặt cầu tâm $C$, bán kính $c$ với đường tròn $(O)$ đã nói ở trên.Tọa độ của $S$ phải thỏa mãn :

$\left\{\begin{matrix}x=0\\y^2+z^2=\frac{P}{4p^2}\\\left ( x-\frac{q^2-r^2+b^2-a^2}{2p} \right )^2+\left ( y-\frac{{\sqrt{M}}}{2p} \right )^2+z^2=c^2 \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow z_{S}^{2}=\frac{P}{4p^2}-\frac{(a^2p^2-a^2q^2+a^2r^2+b^2p^2+b^2q^2-b^2r^2+p^2q^2-p^4+p^2r^2-2c^2p^2)^2}{4p^2M}$

$=\frac{P}{4p^2}-\frac{Q^2}{4p^2M}$

Giá trị $h=SH$ chính là khoảng cách từ $S$ đến $(ABC)$, tức là $\left | z_S \right |$ (vì mp $(ABC)$ chính là mp $z=0$)

$h=\left | z_S \right |=\frac{\sqrt{P.M-Q^2}}{2p\sqrt{M}}$

$V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.S_{ABC}.h=\frac{1}{3}.\frac{1}{4}\sqrt{M}.\frac{\sqrt{P.M-Q^2}}{2p\sqrt{M}}=\frac{\sqrt{P.M-Q^2}}{24p}$

Thay các biểu thức của $P,M,Q$ vào rồi rút gọn, cuối cùng được :

$V_{S.ABC}=\frac{1}{12}\sqrt{a^2r^2(b^2+c^2+p^2+q^2-a^2-r^2)+b^2q^2(a^2+c^2+p^2+r^2-b^2-q^2)+c^2p^2(a^2+b^2+q^2+r^2-c^2-p^2)-a^2b^2p^2-b^2c^2r^2-c^2a^2q^2-p^2q^2r^2}$

Cuối cùng thay :

$\left\{\begin{matrix}p^2=a^2+b^2-2ab\cos \alpha \\q^2=a^2+c^2-2ac\cos \gamma \\r^2=b^2+c^2-2bc\cos \beta \end{matrix}\right.$

ta có biểu thức cần tìm (quá cồng kềnh nên không viết ra đây)

Bài của em có vẻ không ổn nhỉ..hic..Em xin xét tiểu cục để suy ra đại cục (học ngược Tập xếnh xáng) như thế này:

Giả sử ta có 3 tập:

$A=\left \{ 1,2,3 \right \}$

$B=\left \{ 3,4,5 \right \}$

$C=\left \{ 1,5,6 \right \}$

Ta thấy:

$A\cap B\cap C=\varnothing$

Trong trường hợp này, mặc dù giao của mỗi 2 tập là 1 ptử nhưng các ptử 1, 3, và 5 không phải là các phần tử chung của tất cả 3 tập đã cho....

Gọi $1985$ tập đã cho là $X_0,X_2,...,X_{1984}$.Cần chứng minh rằng $1985$ tập đó có $1$ phần tử chung.

Giả sử $1985$ tập đó không hề có chung 1 phần tử nào.

Xét 1 tập tùy ý trong $1985$ tập đó.Ví dụ ta xét tập $X_0$ (có $45$ phần tử là $a_1,a_2,...,a_{45}$)

Mỗi phần tử $a_i$ thuộc $X_0$ là phần tử chung của đúng $k_i$ tập (không tính tập $X_0$, $k_i$ có thể bằng $0$)

Vì $44< \frac{1984}{45}< 45$ nên theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 1 phần tử của $X_0$ là phần tử chung của đúng $K$ tập khác $X_0$ (với $45\leqslant K\leqslant 1983$)

(Cũng như khi chia $1984$ viên bi vào $45$ cái hộp sao cho không có hộp nào chứa tất cả bi (có thể có hộp không có bi) thì chắc chắn phải có ít nhất 1 hộp chứa từ $45$ đến $1983$ viên bi)

Như vậy, có đúng $K+1$ tập (kể cả tập $X_0$) có chung 1 phần tử nào đó (tạm gọi là phần tử $a_j$)

($46\leqslant K+1\leqslant 1984$)

Bây giờ xét 1 tập (trong số $1985$ tập đã cho) không nằm trong số $K+1$ tập nói trên (gọi tập này là $X_m$ $\Rightarrow a_j\notin X_m$)

Gọi giao của $X_m$ với lần lượt từng tập trong K+1 tập nói trên là $b_1,b_2,...,b_{K+1}$.

Rõ ràng các $b_j$ phải phân biệt (vì 2 tập bất kỳ chỉ có duy nhất 1 phần tử chung)

Nhưng nếu như thế thì tập $X_m$ có ít nhất K+1 phần tử, tức là có hơn $45$ phần tử.

Mâu thuẫn này chứng tỏ điều giả sử ban đầu là sai.

Vậy $1985$ tập đã cho có đúng $1$ phần tử chung.

Cho 1985 tập. Mỗi tập 45 phần tử. Hợp 2 tập bất kì gồm 89 phần tử. Hỏi có bao nhiêu phần tử trong 1985 tập

Theo đề bài suy ra giao của 2 tập bất kỳ là $1$ phần tử.Phần tử đó là phần tử chung của tất cả $1985$ tập.

Vậy tổng số phần tử trong $1985$ tập là $(45-1).1985+1=87341$ (phần tử)

(x+a)(x+a^2)(x+a^3)...(x+a^n) với a là hằng số

Gọi hệ số của $x^{n-2}$ là $A$.

$A=a(a^2+a^3+...+a^n)+a^2(a^3+a^4+...+a^n)+a^3(a^4+a^5+...+a^n)+...+a^{n-2}(a^{n-1}+a^n)+a^{n-1}a^n$

Từ đó :

+ Nếu $n$ lẻ và $n\geqslant 3$ thì :

   $A=A_1=(a^3+a^4)+2(a^5+a^6)+3(a^7+a^8)+...+\left ( \frac{n-1}{2} \right )(a^n+a^{n+1})+\left (\frac{n-1}{2} \right )a^{n+2}+$

$+\left ( \frac{n-1}{2}-1 \right )(a^{n+3}+a^{n+4})+\left ( \frac{n-1}{2}-2 \right )(a^{n+5}+a^{n+6})+...+2(a^{2n-4}+a^{2n-3})+(a^{2n-2}+a^{2n-1})$

+ Nếu $n$ chẵn và $n\geqslant 2$ thì :

   $A=A_2=(a^3+a^4)+2(a^5+a^6)+3(a^7+a^8)+...+\left ( \frac{n-2}{2} \right )(a^{n-1}+a^n)+\left (\frac{n}{2} \right )a^{n+1}+$

$+\left ( \frac{n-2}{2} \right )(a^{n+2}+a^{n+3})+\left ( \frac{n-2}{2}-1 \right )(a^{n+4}+a^{n+5})+...+2(a^{2n-4}+a^{2n-3})+(a^{2n-2}+a^{2n-1})$

Viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2007 để tạo thành 1 số tự nhiên . Ta thực hiện 1 thuật toán đơn giản như sau :
-Lấy chữ số đầu tiên nhân với 4 rồi cộng với chữ số tiếp theo cho đến hết ta đc 1 số mới
-Tiếp tục tác động lên số mới bước làm giống như trên cho đến khi ta đc kết quả là 1 số có 1 chữ số
Hãy tìm số có 1 chữ số đó

Gọi $A$ là số tự nhiên viết được trong bước đầu tiên $\Rightarrow A$ có $9.1+90.2+900.3+(2007-999).4=6921$ chữ số.

Bây giờ ta thử tính số chữ số 1 trong $A$ :

Xét các số tự nhiên từ 1 đến 2007 :

- Chữ số 1 xuất hiện ở hàng đơn vị $201$ lần (0001 ---> 2001)

- Chữ số 1 xuất hiện ở hàng chục $200$ lần ($\overline{001x}\rightarrow \overline{191x}$)

- Chữ số 1 xuất hiện ở hàng trăm $200$ lần ($\overline{01xx}\rightarrow \overline{11xx}$)

- Chữ số 1 xuất hiện ở hàng ngàn $1000$ lần (từ $1000$ đến $1999$)

$\Rightarrow A$ có $201+200+200+1000=1601$ chữ số 1.

Hoàn toàn tương tự, ta có thể tính được trong số $A$, chữ số 2 xuất hiện $609$ lần; các chữ số 3,4,5,6,7, mỗi chữ số xuất hiện $601$ lần; các chữ số 8 và 9, mỗi chữ số xuất hiện $600$ lần; chữ số 0 xuất hiện $506$ lần.

Vậy tổng các chữ số của $A$ là $1601.1+609.2+601.(3+4+5+6+7)+600.(8+9)=28044$

Vì $A$ bắt đầu bằng chữ số 1 nên sau khi thực hiện thuật toán đầu tiên ta được số $B=1.4+(28044-1)=28047$

Sau khi thực hiện thuật toán lần thứ hai ta được số $C=2.4+8+0+4+7=27$

Sau khi thực hiện thuật toán lần thứ ba ta được số $D=2.4+7=15$

Sau khi thực hiện thuật toán lần thứ tư ta được số $E=1.4+5=9$

Vậy số có $1$ chữ số cần tìm là $9$.

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z

a. $z = i + (1+i)^2 + (1+i)^3 + .... + (1+i)^{2011}$

$z=i+(1+i)^2+(1+i)^3+...+(1+i)^{2011}$

$=\left [ 1+(1+i)+(1+i)^2+...+(1+i)^{2011} \right ]-2$

$=\frac{(1+i)^{2012}-1}{i}-2=\frac{\left [ (1+i)^2 \right ]^{1006}}{i}+i-2$

$=\frac{(2i)^{1006}}{i}+i-2=\frac{2^{1006}.(-1)}{i}+i-2=\left ( 2^{1006}+1 \right )i-2$

Vậy phần thực là $-2$ và phần ảo là $2^{1006}+1$.