chanhquocnghiem

Giải phương trình $\frac{\sqrt{x^{2}-x+2}}{1+\sqrt{-x^{2}+x+2}}-\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{1+\sqrt{-x^{2}-x+4}}=x^{2}-1$

Điều kiện để tất cả các căn thức đều xác định là $x=-1$ HOẶC $x\in \left [ 0;\frac{\sqrt{17}-1}{2} \right ]$

Dễ thấy $-1$ không phải là nghiệm.

Đặt $A=x^2+x$ ; $B=-x^2+x+2$, phương trình đã cho trở thành :

$\frac{\sqrt{A+(2-2x)}}{1+\sqrt{B}}-\frac{\sqrt{A}}{1+\sqrt{B+(2-2x)}}=x^2-1$ (*)

(Lưu ý là với các ĐK đã nêu ở trên thì tử của các phân thức ở vế trái đều xác định và là số không âm, còn mẫu đều là số dương)

Xét các TH :

$a)$ $0\leqslant x< 1$ :

    Khi đó $2-2x> 0\Rightarrow VT> 0$, trong khi $VP=x^2-1< 0$ ---> vô nghiệm.

$b)$ $x=1$ : Thay trực tiếp vào phương trình đã cho thấy nghiệm đúng ---> $x=1$ là nghiệm của phương trình.

$c)$ $1< x\leqslant \frac{\sqrt{17}-1}{2}$ :

    Khi đó $2-2x< 0\Rightarrow VT< 0$, trong khi $VP=x^2-1> 0$ ---> vô nghiệm.

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình đã cho là $x=1$.

Trong một buổi họp có $n$ người tham gia và có một số cái bắt tay ( mỗi cái bắt tay tạo thành thừ 2 người ,2 người đã bắt tay không bắt tay lại) .Cmr nếu $n$ lẻ thì số cái bắt tay chẵn.

Bài này đề sai rồi.Ví dụ có $3$ người tham gia là $A,B,C$.Chỉ có $A$ và $B$ bắt tay thì số cái bắt tay chẵn thế nào được hả em ?

tính tổng sau : $\frac{1}{1.2}C_{n}^{0}+\frac{1}{2.3}C_{n}^{1}+...+\frac{1}{(n+1).(n+2)}C_{n}^{n}$

Đặt tổng cần tính là $S$

$\Rightarrow (n+2)(n+1)S=\frac{(n+2)(n+1)}{2!}+\frac{(n+2)(n+1)n}{3!}+...+\frac{(n+2)(n+1)...2.1}{(n+2)!}$

$=C_{n+2}^{2}+C_{n+2}^{3}+...+C_{n+2}^{n+2}=2^{n+2}-C_{n+2}^{0}-C_{n+2}^{1}=2^{n+2}-n-3$

$\Rightarrow S=\frac{2^{n+2}-n-3}{(n+1)(n+2)}$

Tìm Tổng Của Các Số Có 4 Chữ Số Phân Biệt

Ta phải tính tổng của $9.A_{9}^{3}=4536$ số.

Ở hàng đơn vị, các chữ số $1,2,3,...,9$, mỗi chữ số đều xuất hiện $8.8.7=448$ lần.

Ở hàng chục và hàng trăm cũng như thế.(Ta không quan tâm số lần xuất hiện của chữ số $0$)

Riêng ở hàng ngàn, các chữ số $1,2,3,...,9$, mỗi chữ số đều xuất hiện $A_{9}^{3}=504$ lần.

$\Rightarrow$ Tổng cần tìm là $S=(1+2+...+9).448.111+(1+2+...+9).504.1000=45.(49728+504000)=24917760$.

Có 100 người lính trong một doanh trại .Mỗi tối có 3 người được phân công trực .Hỏi có thể xảy ra tình huống sau 1 khoảng thời gian nào đó mỗi người đều trực vs những người còn lại đúng 1 lần hay không?

Giả sử sau 1 khoảng thời gian nào đó mỗi người đều trực với $99$ người còn lại ĐÚNG $1$ lần.

Ta hãy để ý đến 1 anh lính đẹp trai nào đó (tạm gọi là $A$).

Mỗi lần đến phiên trực, anh $A$ trực chung với $2$ người khác

---> Sau $49$ lần trực, anh $A$ đã cùng trực với $98$ người (mỗi người cùng trực với $A$ $1$ lần)

Đến lần trực thứ $50$, anh $A$ sẽ trực chung với người cuối cùng và 1 người nào đó đã từng trực chung.

Điều này mâu thuẫn với điều giả sử ở trên ---> điều giả sử sai ---> Tình huống nêu trong đề bài không thể xảy ra.

Tìm số mũ a cao nhất mà $1000!$ có thể chia hất cho $7^{a}$

$\left \lfloor \frac{1000}{7} \right \rfloor=142$

$\left \lfloor \frac{142}{7} \right \rfloor=20$

$\left \lfloor \frac{20}{7} \right \rfloor=2$

$\Rightarrow$ số mũ $a$ cao nhất cần tìm là $142+20+2=164$

Khu vực Tây Nam Á có $20$ nước, khu vực Trung Á có $6$ nước.Người ta lập bảng thống kê diện tích của tất cả $26$ nước đó (tính bằng $km^2$, làm tròn với độ chính xác $0,5\ km^2$).

Tính xác suất để tất cả các chữ số hàng đơn vị của diện tích $26$ nước đó đều thuộc $E=\left \{ 0;1;9 \right \}$.Liệu xác suất đó có lớn hơn $10^{-10}$ không ?

(Bài này giải không khó, nhưng nếu giải xong rồi thử kiểm tra lại trong SGK Địa lý 11, trang 33 sẽ thấy điều khó tin đến ngạc nhiên)

Một con châu chấu nhảy trên một đường thẳng .Bước đầu tiên nhảy đc 1 cm ,bước thứ hai nhảy đc 2cm ... cứ tiếp tục nhảy về trái hoặc phải .Cmr sau 2015 bước nó không về đc vị trí ban đầu

Chọn vị trí ban đầu làm gốc tọa độ, chiều dương là chiều của bước thứ nhất.Gọi $x_i$ là độ dài đại số của bước thứ $i$ ($\left | x_i \right |=i,\forall i\in \mathbb{N}$)

Giả sử : $x_{4k}=-4k$ ; $x_{4k+1}=4k+1$ ; $x_{4k+2}=4k+2$ ; $x_{4k+3}=-(4k+3)$ ($k$ nguyên, từ $0$ đến $503$)

Khi đó, dễ thấy rằng $x_1+x_2+...+x_{2015}=0$ $\Rightarrow$ đề sai.

=================================

Đề yêu cầu chứng minh rằng sau 2015 bước thì nó không về được vị trí ban đầu (có nghĩa là cm rằng ta luôn luôn có $x_1+x_2+...+x_{2005}$ khác $0$, trong đó mỗi số hạng $x_i$ có thể chọn 1 trong 2 giá trị là $i$ hoặc $-i$).

Ta chỉ cần nêu ra 1 trường hợp mà $x_1+x_2+...+x_{2005}=0$ thì có thể khẳng định là đề sai.

Đó chính là trường hợp $x_{4k}=-4k$ ; $x_{4k+1}=4k+1$ ; $x_{4k+2}=4k+2$ ; $x_{4k+3}=-(4k+3)$ ($k$ nguyên, từ $0$ đến $503$)

Chú ý là nếu thêm $x_0=0$ vào thì ta có $x_0+x_1+x_2+...+x_{2014}+x_{2015}$.Nếu chia thành $504$ nhóm, mỗi nhóm gồm 4 số hạng liên tiếp thì tổng mỗi nhóm bằng 0 nên tổng của $2016$ số hạng đó cũng bằng $0$.

Còn về hướng thì ta chọn hướng của bước 1 (ví dụ là nhảy sang phải) là hướng dương.

Như vậy $x_1=1$ là nhảy sang phải $1\ cm$ ; $x_3=-3$ là nhảy sang trái $3\ cm$ ; ...

 

Đặt:

 

$VT=y=\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$                                              (1)

 

Ta có: 

 

                                 $y'=\frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}-\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $y'=0\Leftrightarrow \frac{2x+1}{2\sqrt{x^2+x+1}}=\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x+1}}$

 

                                 $\Leftrightarrow (2x-1)\sqrt{x^2+x+1}=(2x+1)\sqrt{x^2-x+1}$

 

                                 $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (2x-1)(2x+1)>0\\ (2x-1)^2(x^2+x+1)=(2x+1)^2(x^2-x+1) \end{matrix}\right.$

 

Dễ thấy hệ trên vô nghiệm.

 

Mặt khác hàm số đã cho đồng biến

 

Ta có: 

 

$\lim_{x \to-\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=-1$

 

$\lim_{x \to+\infty }\frac{2x}{\sqrt{x^2-x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=1$

 

Từ đó có bảng biến thiên và rút ra (1) có nghiệm khi và chỉ khi $-1<y<1$

 

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

Đây là Toán Trung học cơ sở mà sao bạn trauvang97 lại đem giới hạn với đạo hàm vào vậy !

Mình đề xuất 1 cách khác chứng minh $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1$ như sau :

$\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leqslant \left | \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1} \right |=\frac{2.\left | x \right |}{\sqrt{x^2+\left | x \right |+1}+\sqrt{x^2-\left | x \right |+1}}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}$

Xét $2$ trường hợp :

$1)$ $\left | x \right |\geqslant \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{2.\left | x \right |+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}=1$

$2)$ $0< \left | x \right |< \frac{1}{2}$ :

    $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< \frac{2.\left | x \right |}{\left ( \left | x \right |+\frac{1}{2} \right )+\left | \left | x \right |-\frac{1}{2} \right |}=\frac{2.\left | x \right |}{\left | x \right |+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\left | x \right |}=2.\left | x \right |< 1$

Vậy trong mọi TH, ta luôn có $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}< 1\Rightarrow$ ĐPCM.

Cho $10$ cái hộp khác nhau và $30$ quả bóng, trong đó có $10$ quả xanh, $10$ quả đỏ và $10$ quả vàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp $30$ quả bóng vào $10$ cái hộp đó

Giả sử mỗi cái hộp đều đủ chỗ chứa $30$ quả bóng thì có thể giải như sau :

Đánh số thứ tự các hộp từ $1$ đến $10$.

Gọi $x_i$ là số quả bóng xanh xếp vào hộp thứ $i$ ($i$ từ $1$ đến $10$), ta có :

$x_1+x_2+x_3+...+x_{10}=10$ (*)

Số cách xếp $10$ quả bóng xanh vào $10$ hộp là số nghiệm nguyên không âm của (*) và bằng $C_{19}^{9}=92378$ cách.

Tương tự, số cách xếp $10$ quả bóng đỏ (rồi $10$ quả bóng vàng cũng thế) vào $10$ hộp là $92378$ cách.

$\Rightarrow$ đáp án là $92378^3$ cách.

 

Mặt khác, nếu tồn tại $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì thay $n$ bởi $k$ trong (3): \[f\left( { - t\left( k \right)} \right) = 0 = f\left( 1 \right):\text{mâu thuẫn}\]

Lời giải của bạn rất hay.Tuy nhiên đoạn trên chưa thuyết phục lắm (nếu không tồn tại số $k$ sao cho $t(k)=-1$ thì sao ?)

Mình đề nghị ở $\textbf{TH2}$ ($f(0)=1$ ; $t(n)=\pm 1$) giải quyết như sau :

Từ $f(f(n))-n=2\ t(n)$ cho $n=-t(n)$ thì được :

$f(0)+t(n)=2\ t(-t(n))$ hay $1+t(n)=2\ t(-t(n))$ (*)

Thay $t(n)=-1$ vào (*) ---> không thỏa mãn ---> loại ---> $t(n)=1$

Chia tập hợp $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ thành ba tập hợp khác rỗng. Chứng minh tồn tại một tập hợp có tích các phần tử vượt quá $77$

Nếu chia tập đã cho thành 3 tập : $A=\left \{ 1;3;4;6 \right \}$ ; $B=\left \{ 2;5;7 \right \}$ ; $C=\left \{ 8;9 \right \}$ thì không có tập nào trong $A,B,C$ có tích các phần tử vượt quá $77\Rightarrow$ đề sai !!!

Để "bần đạo" (múa rìu qua mắt thợ) thử xem nào !

(Bắt chước thầy Thanh)

$4f(n)=\left ( f(f(n))+n \right )\left ( f(f(n))-n \right )$ (1)

Nếu $f\left ( f(n) \right )-n$ lẻ thì $f\left ( f(n) \right )+n$ cũng lẻ ---> vế phải lẻ (vô lý)

Vậy phải có $f(f(n))-n=2\ t(n)$ (2) (với $t(n)\in \mathbb{Z}$)

(1),(2) $\Rightarrow f(n)=t(n).\left ( t(n)+n \right )$ (3)

Từ (3), cho $n=0\Rightarrow f(0)=\left [ t(0) \right ]^2$ 

Từ (3), cho $n=-t(n)\Rightarrow f(-t(n))=0$

Từ (2), cho $n=-t(n)\Rightarrow f(0)+t(n)=2\ t(-t(n))$ hay $\left [ t(0) \right ]^2+t(n)=2\ t(-t(n))$ (4)

Xét 2 trường hợp :

$a)$ $t(n)$ là hàm không đổi theo $n$ (hàm hằng : $t(n)=K$, $K\in \mathbb{Z}$)

     (4) $\Rightarrow K^2+K=2K\Rightarrow K=0$ ; $K=1$

     + $K=0\Rightarrow f(n)=0$.Thử lại không thỏa mãn ---> loại.

     + $K=1\Rightarrow f(n)=n+1$.Thử lại thỏa mãn.

$b)$ $t(n)$ là hàm biến đổi theo $n$ :

(Mai làm tiếp)

 

2, Trong tủ đựng giày có 8 đôi giày khác nhau. Lấy ngẫu nhiên từ tủ ra 4 chiếc giày. Tính xác suất sao cho trong 4 chiếc lấy ra:

  a,Có ít nhất 1 đôi  giày.

  b, Có đúng 1 đôi giày.

$a)$ Gọi $A$ là biến cố $4$ chiếc lấy ra thuộc $4$ đôi khác nhau.Ta tính $n(A)$ :

    + Chọn $4$ đôi giày trong $8$ đôi : Có $C_{8}^{4}=70$ cách.

    + Mỗi đôi (trong $4$ đôi trên) chỉ chọn $1$ chiếc : $2^4=16$ cách.

    $\Rightarrow n(A)=70.16=1120$

    $\Rightarrow P(A)=\frac{1120}{C_{16}^{4}}=\frac{8}{13}$

    Xác suất có ít nhất $1$ đôi giày là $1-P(A)=\frac{5}{13}$

$b)$ Gọi $B$ là biến cố lấy được đúng $2$ đôi giày.

     $n(B)=C_{8}^{2}=28 \Rightarrow P(B)=\frac{28}{C_{16}^{4}}=\frac{1}{65}$

     Xác suất lấy được đúng $1$ đôi giày là $\frac{5}{13}-P(B)=\frac{24}{65}$.

Nhân dịp sinh nhật của

Spoiler

Khanghaxuan

, VMF tổ chức cuộc thi  

Spoiler

hôn tập thể

gồm 169 thí sinh nam và 196 thí sinh nữ . Biết rằng , cứ ba người thì có tối đa 2 người hôn nhau . Hỏi có tối đa bao nhiêu cặp người hôn nhau cho giả thiết rằng  

Spoiler

nam(nữ) có thể hôn nhau

Cứ 3 người bất kỳ thì có tối đa 2 người hôn nhau, tức là trong nhóm 3 người bất kỳ (ví dụ $A,B,C$) gồm có $3$ cặp ($A-B,B-C,C-A$) thì có tối đa $1$ cặp ... hôn nhau.Như vậy, luật chơi là mỗi người chỉ được "bắt cá" tối đa là "1 tay" (vì nếu có anh chàng hay cô nàng nào "ăn gian", chơi trò "bắt cá 2 tay" thì nhóm 3 người đó có tới $2$ hoặc $3$ cặp hôn nhau).

Suy ra số cặp người hôn nhau tối đa là $\left \lfloor \frac{169+196}{2} \right \rfloor=182$.

(Vậy là có ít nhất 1 người đứng ngoài cuộc "thi hôn" !)