Ta có $[(x^{2}-1)]^{n}=(x-1)^{2n}=(x-1)^{n}.(x-1)^{n}$
$(x-1)^{n}.(x-1)^{n}=[\sum_{k=0}^{n}.C_{n}^{k}\textrm{}.(-1)^{k}.x^{n-k}].[\sum_{i=0}^{n}.C_{n}^{i}\textrm{}.(-1)^{i}.x^{n-i}]$Hệ số của $x^{n}$ là :
$C_{n}^{0}.C_{n}^{n}-\textrm{}\textrm{}C_{n}^{1}\textrm{}.C_{n}^{}\textrm{n-1}+C_{n}^{2}\textrm{}.C_{n}^{n-2}\textrm{} - ...+C_{n}^{n}\textrm{}.C_{n}^{0}\textrm{} ={\left( {C_{n}^0} \right)^2} - {\left( {C_{n}^1} \right)^2} + {\left( {C_{n}^2} \right)^2} - {\left( {C_{n}^3} \right)^2} + ... - {\left( {C_{n}^{n-1}} \right)^2} + {\left( {C_{n}^{n}} \right)^2}$
Hệ số của $x^{n}$ cũng là
$C_{n}^{\frac{n}{2}}\textrm{}$
Thay $n=2012$ suy ra được $dfcm$
Sao lại viết $[(x^{2}-1)]^{n}=(x-1)^{2n}$ ???
Mà nếu khai triển $[(x^{2}-1)]^{n}$ (với $n$ chẵn) ra thì hệ số của $x^{n}$ cũng chưa chắc là $C_{n}^{\frac{n}{2}}$ đâu !
Ví dụ $\left [ (x^2-1) \right ]^6=C_{6}^{0}.x^{12}+C_{6}^{1}.x^{10}.(-1)+C_{6}^{2}.x^{8}.(-1)^2+C_{6}^{3}.x^6.(-1)^3+C_{6}^{4}.x^4.(-1)^4+C_{6}^{5}.x^2.(-1)^5+C_{6}^{6}.(-1)^6$
$=x^{12}-C_{6}^{1}.x^{10}+C_{6}^{2}.x^{8}-C_{6}^{3}.x^6+C_{6}^{4}.x^4-C_{6}^{5}.x^2+C_{6}^{6}.x^0$
(Hệ số của $x^6$ là $-C_{6}^{3}$ chứ không phải là $C_{6}^{3}$)
- quangbinng yêu thích