BuiNguyenQuynhLinh

Nếu M là điểm trong tứ giác ABCD thỏa 2S(MAB) + 2S(MCD) = S(ABCD) ta gọi M là điểm đẳng tích tứ giác ABCD

Nếu P,Q là các điểm đẳng tích ta gọi đường thẳng PQ là đường đẳng tích của tú giác ABCD

Ta có một nhận xét đơn giản sau:

       Nếu PQ là đường đẳng tích của tứ giác ABCD và điểm M thuộc PQ , M trong tứ giác thì M là điểm đẳng tích của tứ giác ABCD

( Ta chứng minh nhận xét này nhờ vào định lý Talet về sự song song của các đường vuông góc hạ từ M,P,Q tới AB,CD )

 

( M có thể thuộc các cạnh tứ giác ABCD)

 

Mặt khác gọi E là một điểm bất kì trong tứ giác ABCD, cho đường thẳng d quay quanh điểm E, dễ thấy d sẽ quét hết tứ giác ABCD (1)

Theo giả thiết P1,P2,P3 không thẳng hàng nên 3 điểm này tạo thành tam giác (2)

Từ (1,2) => tồn tại đường thẳng d cắt được 2 cạnh của tam giác P1P2P3        

Gọi 2 điểm này là X,Y thì rõ ràng X,Y là các điểm đẳng tích => XY là đường đẳng tích => E là điểm đẳng tích tứ giác ABCD

Vậy, mọi điểm thuộc miền trong tứ giác ABCD đều là các diểm đẳng tích của tứ giác ABCD

Trong hệ thống các điểm này ta lấy ra 4 điểm đặc biệt chính là đỉnh tứ gíac: A, B, C, D

Nhờ đó ta suy ra được AB \\ CD

                                    AD \\ BC

=> ABCD là hình bình hành

Mình nghĩ bài này không quá khó đâu bạn ạ!

Mình chỉ xin nêu ra cách làm thôi nhé!

Pt đầu tiên được viết thành                            (x-y)(x+3y) = 0 => x=y hoặc x= -3y

Để giải hệ ta có thể xét 4 trường hợp về dấu của x và y

x>0, y>0 => $x^{2} + y{2} = -2$ (loại)

x>0, y<0 => $x^{2} - y^{2} = -2$

x<0,y<0 => $x^{2} + y^{2} = 2$

x<0, y>0 => $y^{2} - x^{2} = -2$

( Ở trường hợp mà x và y cùng dấu thì thế x = y vào pt 2 để giải )

( Ở các trường hợp mà x và y trái dấu ta thế x = -3y vào pt 2 để giải)

Tìm a sao cho pt: $x^{2}-2x\left \lfloor x \right \rfloor+x-a=0$ có hai nghiệm không âm

Mình tạm gọi d thay cho kí hiệu delta ha!

[x] = x-t với 0<=t<1. 

Phương trình đã cho có thể biểu diễn thành :

$x^{2} -(2t+1)x +a = 0$

Gọi d là kí hiệu biệt thức delta cho pt ẩn x và hai tham số t,a trên

Giả sử gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt này

Do x1, x2 không âm nên a>=0

Pt trên sẽ có nghiệm như sau:

                                                     x1 = t + (1 - sqrt(d)) \ 2                              x2 = t + (1 +sqrt(d)) \ 2

Theo giả thiết, rõ ràng x - t là một số nguyên   

      Suy ra sqrt(d) là số hửu tỷ, nếu gọi sqrt(d) = p\q thì ta suy ra q =1 nghĩa là sqrt(d) là số nguyên

      => d là một số chính phương

Ta có d = $(2t+1)^{2} - 4a$ là số chính phương 

Do 0<= t <1 nên suy ra d chỉ có thể là 1 hoặc 4 ( các số chính phương nằm giữa 0 và 9)

Thay lần lượt d =1 và d= 4 vào để tính x - t thì ta chọn d = 1 ( đảm bảo dk [x] là số nguyên )

Như vậy d = 1 thì hai nghiệm pt cho trên lần lượt là 

              t và t+1   với ( 0<=t < 1)   

Theo công thức biểu diễn của d ta suy ra

             a = $t^{2} + t$ với 0<= t < 1

=> 0<= a < 2 

Ta đảo lại:

Với a được lấy trong [0,2) thì luôn tồn tại số t thuộc [0,1) thỏa a =$t^{2} + t$ 

Lúc đó thì phương trình 

    $x^{2} - 2x[x] + x -a = 0$  luôn có 2 nghiệm là t và t+1 ( thử lại thì dễ thấy)

Như vậy ta kết luận được;

PT đã cho có nghiệm thỏa đề khi và chỉ khi 0<= a <2

Tìm điều kiện của a,b để phương trình $x^3 +ax +b =0$ có nghiệm duy nhất

Ta có thể dùng đạo hàm để trả lời bài tóan

Ta có biệt thức $27b^{2} + 4a^{3}$ >0$ thì pt trên có nghiệm duy nhất

Giải phương trình: $(x-1)(x^{2}+x+1)=x\sqrt{x^{2}-6x+1}$

x=0 không là nghiệm của pt

$x^{3} - 1 = x\sqrt{x^{2}-6x+1}$

Do $x^{2}$ khác 0

Ta thực hiện chia hai vế cho $x^{2}$

(chú ý dấu của x trong các trường hợp)

Cuối cùng ta đưa pt được về dạng

$f(x)^{2} = g(x)^{2}$ (PT giải được)

Xét x>0 => VT >= 0 => x >= 1

      Chia hai vế cho $x^{2}$ ta được: (x-\frac{1}{x^{2}}) = \sqrt {1 - \frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}}

=>   $(x + \frac{1}{x^{2}})^{2} = (\frac{1}{x}-1)^{2}$

=> $(x^{3} + x^{2} - x +1)(x^{3} -x^{2} + x +1) = 0$

xét hàm số f(x) = $(x^{3} + x^{2} - x +1$ trên [1;$+\infty$)

                  f'(x) = $3x^{2} + 2x -1$ >0 với mọi x > 1 => f(x) đồng biến trên khỏang (1,$\infty$) => f(x) đồng biến trên [1;$+\infty$)

                  mà f(1) > 0 nên pt f(x) = 0 vô nghiệm trên  [1;$+\infty$)

Xét hàm số g(x) = $(x^{3} -x^{2} + x +1)$ trên [1;$+\infty$) 

                  Bằng lý luận tương tự, pt g(x) = 0 vô nghiệm trến [1;$+\infty$)

Xét x<0, đặt y =-x, lý luận tương tự ta có pt

$(y-\frac{1} {y^{2}})^{2} = (\frac{1} {y} + 1)^{2}$

=> $(y^{3} - y^{2} -y -1)(y^{3} + y^{2} +y -1) = 0$ 

(Tới đây thì pt có thể đưa về dạng $x^{3} -px +q =0$) 

Ta giải và chọn nghiệm thôi ( Mình lười gõ tiếp, mọi người thông cảm nha)