nmuyen2001

Câu hình

Ý 1 trước đã

Gọi $M$ là giao điểm của $HF$ và $DE$. Ta có $MB=MC$ nên nếu cm được tứ giác $BMCH$ nội tiếp thì suy ra $HF$ là phân giác góc $BHC$.

Ta có tứ giác $BDCG$ nội tiếp $\Rightarrow FB.FC=FG.FD$ (1)

$AE//HM \Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{HMD}$

Mặt khác, $AEDG$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{AED}=\widehat{HGD}$

$\Rightarrow \widehat{HMD}=\widehat{HGD}$

$\Rightarrow HGMD$ nội tiếp 

$\Rightarrow FG.FD=FM.FH$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow FB.FC=FM.FH$

$\Rightarrow BMCH$ nội tiếp, ta có đpcm.

vi sao KI vuong goc AE the?

$AD$ là dây chung của $(I)$ và $(K)$, $IK$ là đường nối tâm nên $AD\perp IK$

ĐK: $\begin{bmatrix} 2\geq m\geq 1\\ -1\geq m\geq -3 \end{bmatrix}$

Theo Vieta ta có: $P=-16m^2+8m+24$

$\Leftrightarrow P=-16(m-1)^2-24m+40\leq -24m+40\leq 40-24=16$ (vì $m\geq 1$)

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow m=1$

Lại có: $-1\geq m\geq -3$ $\Rightarrow 1\leq m^2\leq 9 \Rightarrow -16\geq -16m^2\geq -144$

$\Rightarrow P\geq -144+8m+24\geq -144+8.(-3)+24=-144$ (vì $m\geq -3$)

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow m=-3$

Vậy $-144\leq P\leq 16$

Bài 75: $x,y>0;x+y=2$

CM: $x^{3}y^{3}(x^{3}+y^{3})\leq 2$

Ta có: $x^3y^3(x^3+y^3)=x^3y^3(x+y)(x^2-xy+y^2)=2x^3y^3(x^2-xy+y^2)\leq 2(\frac{x^2+y^2+2xy}{4})^4=2$ (theo AM-GM)

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=1$

Bài 65:$a,b,c>0; ab+bc+ca=3$

CM:  $\frac{a}{2a+b^{2}}+\frac{b}{2b+c^{2}}+\frac{c}{2c+a^{2}}\leq 1$

Ta có: $\sum \frac{a}{2a+b^2}\leq 1 \Leftrightarrow \sum \frac{2a}{2a+b^2}\leq 2 \Leftrightarrow \sum (1-\frac{2a}{2a+b^2})\geq 3-2 \Leftrightarrow \sum \frac{b^3}{2ab+b^3}\geq 1$

áp dụng bđt Cauchy-Schwarz dạng phân thức:
$\sum \frac{b^3}{2ab+b^3}\geq \frac{(\sum a^{\frac{3}{2}})^2}{\sum 2ab+\sum a^3}=\frac{\sum a^3+2\sum (ab)^{\frac{3}{2}}}{\sum a^3+2\sum ab}$

Ta cần chứng minh: $\sum (ab)^{\frac{3}{2}} \geq \sum ab$
Thật vậy, áp dụng bđt AM-GM: $\sum (ab)^{\frac{3}{2}}\geq 3\sqrt[3]{(a^2b^2c^2)^{\frac{3}{2}}}=3=\sum ab$
Ta có đpcm. Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 75: Cho tam giác $ABC$, điểm $O$ cố định nằm trong tam giác ($O$ không thuộc các cạnh). Điểm $M$ di động trên tia $OA$ ($M$ khác $O$, $A$) sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABM$ còn cắt tia $OB$ tại $N$ khác $B$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACM$ còn cắt tia $OC$ tại $P$ khác $C$.

a/ Chứng minh $\frac{ON}{OP}$ không đổi.

b/ Gọi $I$, $J$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và tam giác $MNP$. Chứng minh $O$, $I$, $J$ thẳng hàng.

(nguồn từ 1 bài viết của bạn O0NgocDuy0O).

Giúp mình bài này với !!!

Bài 72: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O,R) đường kính AD.E là hình chiếu của B trên AD,H là hình chiếu của A trên BC,M là trung điểm của BC.CMR:Tam giác MEH cân

Ta có: $\widehat{BHA}=\widehat{BEA}=90^{\circ} \Rightarrow AEHB$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{EHM}=\widehat{BAE}(1)$ 

Gọi F là giao của tia BE và (O) $\Rightarrow$ E là trung điểm BF, mặt khác M là trung điểm BC $\Rightarrow$ EM là đường trung bình $\Rightarrow EM//CF \Rightarrow \widehat{BEM}=\widehat{BFC}$

Ta lại có $\widehat{HEM}=\widehat{BEM}-\widehat{BEH}=\widehat{BEM}-\widehat{BAH}=\widehat{BEM}-(90^{\circ}-\widehat{ABC})=\widehat{BFC}-(90^{\circ}-\widehat{ADC})=\widehat{BFC}-\widehat{DAC}=\widehat{BFC}-\widehat{DFC}=\widehat{BFD}=\widehat{BAE}(2)$ 

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ đpcm.

Bài 57: Với $x,y,z >0$ và $x^2+y^2+z^2=3$ . Chứng minh: $\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}} \geq 3$

áp dụng bđt AM-GM:
$\sum \frac{x}{\sqrt[3]{yz}}\geq \sum \frac{3x}{y+z+1}=3.\sum \frac{x^2}{xy+zx+x}\geq 3.\frac{(x+y+z)^2}{2(xy+yz+zx)+(x+y+z)}=3.\frac{2(\sum xy)+3}{2(\sum xy)+(x+y+z)}$ (theo c-s)
đến đây ta cần cm: $3\geq x+y+z$
Thật vậy: $3=x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3} \Rightarrow 9\geq (x+y+z)^2 \Rightarrow 3\geq x+y+z$

Ta có đpcm. Dấu = xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$
 

ý tưởng của mình là lấy $x-\sqrt{x^2+2015}$ nhân vào cả 2 vế ra được $y+\sqrt{y^2+2015}=-x+\sqrt{x^2+2015}$

$\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+2015}-\sqrt{y^2+2015}$.

Làm tương tự với $y-\sqrt{y^2+2015}$ ta được $x+y=\sqrt{y^2+2015}-\sqrt{x^2+2015}$

$\Rightarrow x+y=0$.

Xin lỗi nhé, mình đánh lại đây:

Câu 1: 

Cho biểu thức: $A=\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}$

a. Tìm điều kiện xác định của A.

b. Tìm x để A=B biết $B=6+\frac{93}{x^{2}-16}$

Câu 2:

a. Chứng minh $\sqrt{6+4\sqrt{2}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$ là một số nguyên.

b. Tính: $P=\sqrt{2+\sqrt{3}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

Câu 3:

Ta biết rằng: "Một con nhện có 8 chân, một con chuồn chuồn có 6 chân và 4 cánh, một con muỗi có 6 chân và 2 cánh".

Trong một phòng thí nghiệm có 15 con gồm cả nhện, chuồn chuồn và muỗi. Người ta đếm được trong đó có 100 chân và 32 cánh. Tính số con mỗi loại.

Câu 4: 

Cho hình chữ nhật ABCD (AB>BC). Gọi H là hình chiếu của B trên AC. Gọi I và N lần lượt là trung điểm của AD và HC.

a. Biết AH=16cm, HB=12cm. TÍnh chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

b. Chứng minh BN$\perp$IN

Câu 5:

Cho a, b, c, d là các số hữu tỉ thoả mãn a+b+c+d=0.

Chứng minh $\sqrt{(ab-cd)(bc-ad)(ca-bd)}\in Q$

Đề thi HSG lớp 9 trường THCS An Châu - huyện Châu Thành - An Giang

P/s: ai biết cách phóng to to giùm nhé. Cảm ơn!

Bài 49: Một nhóm có 10 người, trong đó 2 người bất kì quen hoặc không quen nhau. Chứng minh rằng trong nhóm trên luôn có 7 người mà hoặc là 3 người quen nhau và 4 người không quen nhau hoặc 3 người không quen nhau và 4 người quen nhau.

Bài 8:
Giả sử $A_1,B_1,C_1$ là các điểm lần lượt thuộc các cạnh $BC,CA,AB$ sao cho $AA_1,BB_1,CC_1$ đồng quy.Giả sử $AA_1$ là trung tuyến $\Delta ABC$.Chứng minh $S_{B_1BC}=S_{C_1BC}$

Gọi M là trung điểm của $BC_{1}$, N là trung điểm của $CB_{1}$

Ta có $BM=MC_{1}, BA_{1}=A_{1}C \Rightarrow MA_{1}// CC_{1}$  

Tương tự ta có $NA_{1}//BB_{1}$

$\Rightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}M}=\frac{AI}{IA_{1}}=\frac{AB_{1}}{B_{1}N}$ 

$\Rightarrow \frac{AC_{1}}{C_{1}B}=\frac{AB_{1}}{B_{1}C} \Rightarrow C_{1}B_{1}//BC$ 

$\Rightarrow S_{B_1BC}=S_{C_1BC}$

Bài 19:Cho đường tròn $(O;r)$ cố định và đường thẳng $d$ cố định không cắt đường tròn $(O)$. Gọi $M$ là điểm di động trên $d$. Từ $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA,MB$ tới đường tròn $(O)$, ($A,B$ là các tiếp điểm). Chứng minh rằng đường thẳng $AB$ luôn đi qua điểm cố định.
(bài viết của thầy Thế tối qua đăng lên cho mọi người thảo luận   )

Kẻ $OL\perp d$
Gọi H là giao điểm của OM và AB, I là giao điểm của OL và AB. Ta có $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}$ (theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) $\Rightarrow OH\perp AB$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta OBM$: $OH.OM=OB^{2}=r^{2}$ (1)
Xét $\Delta OHI$ và $\Delta OLM$, ta có:
$\widehat{O}$ là góc chung
$\Rightarrow \Delta OHI\sim \Delta OLM$
$\Rightarrow \frac{OH}{OI}=\frac{OL}{OM} \Rightarrow OH.OM=OL.OI$ (2)
Từ (1) và (2) $OL.OI=r^{2}$ $\Rightarrow OI=\frac{r^{2}}{OL}$
Ta có OL cố định vì (O;r) và đường thẳng d cố định nên I cố định khi M di chuyển trên d.

Đặt $\frac{a}{a-b}=x, \frac{b}{b-c}=y, \frac{c}{c-a}=z$

$\frac{a}{a-b}=x$

$\Rightarrow \frac{1}{1-\frac{b}{a}}=x$

$\Rightarrow 1-\frac{b}{a}=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow 1-\frac{1}{x}=\frac{b}{a}$

Tương tự ta có $1-\frac{1}{y}=\frac{c}{b},1-\frac{1}{z}=\frac{a}{c}$

$\Rightarrow (1-\frac{1}{x})(1-\frac{1}{y})(1-\frac{1}{z})=1$

$\Rightarrow (x-1)(y-1)(z-1)\geq xyz$

$\Rightarrow x+y+z\geq xy+yz+xz+1$

$\Rightarrow 2(x+y+z)\geq 2(xy+yz+zx)+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(x+y+z)\geq (x+y+z)^{2}+2$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq (x+y+z)^{2}-2(x+y+z)+2\geq (x+y+z-1)^{2}+1\geq 1$ (Điều phải chứng minh)

cho em hỏi dòng thứ 8 sao lại đổi dấu "=" thành dấu "$\geq$"