dang123

bài này bác chế hay đấy

$a^2+b^2+c^2+ab-2bc-2ca=0\Leftrightarrow a+b-c=\sqrt{ab}$

$sqrt{ab}=x$. chuẩn hóa a+b=2

P=$\frac{(2-x)^{2}}{x^{2}}+\frac{(2-x)^{2}}{4-2x^{2}}+\frac{x}{2}$

toi day hs la xong.min=2

co the lam theo tan

$\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=1$

ĐẶt $\frac{1}{x}= tan\frac{A}{2}$ ...tương tự

=> A+B+C=pi
P=$cos\frac{A}{2}+cos\frac{B}{2}+cos\frac{C}{2}$.........

theo BĐT Cauchy-Swcharz, ta có:

 $4(1+x^2)=(1+3)(1+x^2)\geq (1+x\sqrt{3})^2\Rightarrow 1+x^2\geq \frac{(1+x\sqrt{3})^2}{4}$

$\Rightarrow \sqrt{1+x^2}\geq \frac{1+x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq \frac{2x}{1+x\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \sum \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\leq 2\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}$ Do đó ta cần chứng minh: $\sum \frac{x}{1+x\sqrt{3}}\leq \frac{3\sqrt{3}}{4}$

Do VT của BĐT là thuần nhất nên chuẩn hóa $x+y+z=3\sqrt{3}$

Nhận xét: $\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{x}{1+x\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}$ BĐT cần chứng minh có thể  viết lại thành:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{\sqrt{3}}{4}$ . BĐT này đúng bởi theo BĐT cauchy-Swcharz ta có:

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(1+x\sqrt{3})}\geq \frac{9}{\sqrt{3}[\sqrt{3}(x+y+z)+3]}=\frac{9}{\sqrt{3}(3\sqrt{3}.\sqrt{3}+3)}=\frac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x+y+z=xyz & \\ x+y+z=3\sqrt{3} & \end{matrix}\right.$ cùng với đk xảy ra dấu bằng của BĐT Cauchy-Swcharz, ta được

$x=y=z=\sqrt{3}$. Suy ra đpcm.

BDT đâu có đồng bac mà chuẩn hóa

mình làm hơi cơ bắp 1 tí  thuan ve dao ham

ta xet a,b>0

Gia su b la hang so dao ham theo bien a ta duoc

y'=$\frac{b}{b^{2}+1}\frac{-ba^{2}+2a+b}{(a^{2}+1)^{2}}$

tinh delta va Lập BBT ta thấy P max <=>a=$\frac{\sqrt{b^{2}+1}+1}{b}$

the vao P duoc P=$\frac{b(\sqrt{b^{2}+1}+1)}{2(b^{2}+1)}$

tới đây thì hs một lần nữa 

Max=$\frac{3\sqrt{3}}{8}$ dau = xay ra khi x=y=$\sqrt{3}$

$\sum \sqrt{\frac{x+y}{x+1}}\geq 3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{(x+1)(y+1)(z+1)}}}$

chỉ cần cm $(x+y)(y+z)(z+x)\geq (x+1)(y+1)(z+1)$

$\frac{2x}{y}+\frac{2y}{z}+\frac{2z}{x}\geq \sum \frac{4}{x}-\sum \frac{2}{xy}\geq \sum \frac{1}{xy}+\sum \frac{1}{x}$

$\Rightarrow \sum xy(x+y)\geq \sum x+\sum xy$ dpcm

Cho a, b, c, d > 0. Tìm GTNN của $P=\left ( 1+\frac{2a}{3b} \right )\left ( 1+\frac{2b}{3c} \right )\left ( 1+\frac{2c}{3d} \right )\left ( 1+\frac{2d}{3a} \right )$

P$\geq (1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{a}{c}})^{2}(1+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{c}{a}})^{2}\geq \frac{625}{81}$

cho a,b,c>=0 va ab+bc+ca=1 .Tim min:

P=$\sum \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a+b+c}$

Với mọi $0\leq x,y,z\leq 1$

Tìm max của:

P=$1-x^{2}-y^{2}-z^{2}+2xyz$

GPT:

$(x-2)^{3}+x(x-2)(2x-3x^{2})=2x^{3}\sqrt[3]{3x-6}$

Giải bằng cánh đạo hàm ngăn.

GPT:  $3x^{3}-x^{2}-2=2\sqrt[3]{x-1}$

Giải theo cách đạo hàm ngăn các anh.

$0\leq x,y,z\leq 1$

CM

$(2^{x}+2^{y}+2^{z})(\frac{1}{2^{x}}+\frac{1}{2^{y}}+\frac{1}{2^{z}})\leq \frac{81}{8}$

Với mọi a,b,c>=0.Tìm min

$\frac{ab+ac}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ab+bc}{a^{2}+c^{2}}+\frac{cb+ac}{b^{2}+a^{2}}$

@MOD : chú ý cách đặt tiêu đề

Tìm $m$ để pt sau có nghiệm

$x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}=m(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})$

ĐKXĐ:     $0\leq x\leq 4$

PT $\Leftrightarrow \frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}=m$

Gọi f(x)=$\frac{x\sqrt{x}+\sqrt{x+12}}{\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x}}$

f(x)'=$\frac{(\frac{3}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x+12}})(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})+(x\sqrt{x}+\sqrt{x+12})(\frac{1}{2\sqrt{5-x}}+\frac{1}{2\sqrt{4-x}})}{(\sqrt{5-x}+\sqrt{4-x})}$ >0 Với mọi   0=< x<=4

$\Rightarrow f(0)\leq f(x)\leq f(4)$

$2\sqrt{15}-4\sqrt{3} \leq m\leq 12$

Gpt: $x^{3}-4x^{2}-5x+6=\sqrt[3]{7x^{2}+9x-4}$