trang91ht

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT 

                                                                                  NĂM HỌC 2014-2015                                     

           Hà Tĩnh                                     Môn thi : TOÁN LỚP 10

                                                         Thời gian làm bài: 180 phút

 

Câu 1.

          a) Giải phương trình $x\sqrt{x}=(2014+\sqrt{x})(1-\sqrt{1-\sqrt{x}})^{2}$ .

          b) Giải hệ phương trình 

$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2& \\ 16x^{4}-24x^{2}+8\sqrt{3-2y}-3=0&  

Câu 2,

          Tìm tất cả các giá trị của $m$ để hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}(x+y)(4xy+1)=9xy&  & \\(x^{3}+y^{3})(64x^{3}y^{3}+1)=mx^{3}y^{3}&  & \end{matrix}\right.$

có nghiệm $(x;y)$ với $x,y>0$ .

Câu3. 

         Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, tam giác ABC . Gọi $H,K$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ của tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết $H(5;-1),K(\frac{1}{5};\frac{3}{5})$, phương trình đường thẳng $BC$ là $x+3y+4=0$ và điểm $B$ có hoành độ âm.

Câu 4.

          a) Cho tam giác ABC có trọng tâm $G$. Chứng minh rằng nếu $AC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác GAB thì $cos^{2}A+cos^{2}C=2cos^{2}B$.

          b) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của                 biểu thức $P=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{b+2c}+\frac{1}{c+2a}$

Câu 5. 

          Kí hiệu $E$ là tập hợp gồm tất cả các tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c$ có $a>0$, 

          $\Delta =b^{2}-4ac\leq 0$. Tìm điều kiện cần và đủ đối với các số $m,n,p$ để với mọi $f(x)$ 

          thuộc $E$ ta đều có $g(x)=f(x)+m(ax+b)+n(bx+c)+p(cx+a)$ cũng thuộc $E$ .  

 

  

-HẾT-

          

     

 

 

 

                                                                                            

Cho $x,y,z\geqslant 0$ thỏa mãn:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=2+3xyz$

Tìm Min P

$P= x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$

$x,y,z>0$ và $x+y+z=1$ . Tìm max 

$P=\frac{x}{x+zy}+\frac{y}{y+xz}+\frac{\sqrt{xyz}}{z+xy}$

Tìm nghiệm nguyên x,y 

$\sqrt{3x-1}-x-2+\frac{6}{5}y=\sqrt{2y+1}$

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO            KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT                                                                                                             chuyên HÀ TĨNH

       Hà Tĩnh                                                  NĂM HỌC 2014-2015

                                                                Môn thi : TOÁN ( Chung cho mọi học sinh)

                                                                                            Thời gian làm bài: 120 phút 

 

 

Câu 1. Cho $P=(\frac{-x}{\sqrt{x}(x-9)}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}-\frac{1}{\sqrt{x}+3}): (\sqrt{x}+3 - \frac{x}{\sqrt{x}-3})$  , với $x> 0, x\neq 9$ .

              a) Rút gọn biểu thức P.

              b) Tìm giá trị của $x$ sao cho $P= \frac{-1}{4}$

Câu 2. Cho phương trình $x^{2}-2(m-2)x+m^{2}-2m+2=0$ ($m$ là tham số )

              a) Giải phương trình khi $m=-1$

              b) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn: $\left | 2(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2} \right |=3$ .

Câu 3.  a) Giải phương trình  $\sqrt{2x+3}-2\sqrt{x+1}=-1$

             b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy^{2}+2y^{2}-2=x^{2}+3x & & \\ x+y=3\sqrt{y-1} & & \end{matrix}\right.$

Câu 4.  Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ , có $\widehat{BAC}=45^{\circ}$ , $BC=a$ . 

             Gọi $E,F$ tương ứng là chân đường vuông góc hạ từ $B$ xuống $AC$ , từ $C$ xuống $AB$ . Gọi $I$ là điểm đối xứng của $O$ qua $EF$ .

               a) Chứng minh $BFOC,AEIF$ là các tứ giác nội tiếp đường tròn.

               b) Tính $EF$ theo $a$ .

Câu 5. Biết phương trình $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+ax+1=0$ có nghiệm .

            Chứng minh $a^{2}+b^{2}\geqslant \frac{4}{5}$ .

    -HẾT-

 

Thí sinh không sử dụng tài liệu 

Giám thị không giải thích gì thêm .

Hết 

Câu hệ $\left\{\begin{matrix} x+y=\sqrt{xy}+3 & & \\ \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}=8& & \end{matrix}\right.$

từ Phương trình (1) ta có $(x+y)^{2}=xy+6\sqrt{xy}+9\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=-xy+6\sqrt{xy}+9$

từ phương trinh (2) áp dụng bddt bunhia cho 4 số  

$(\sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7})^{2}\leqslant 2(x^{2}+y^{2}+14)=2(-xy+6\sqrt{xy}+9+14)=2(-xy+6\sqrt{xy}-9+32)=-2(\sqrt{xy}-3)^{2}+64\leqslant 64$

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+7}+\sqrt{y^{2}+7}\leqslant 8$

dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} \sqrt{xy}=3 & & \\ x=y& & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow x=y=3$

a. có lẽ bạn làm được rồi
b.Lấy K trung điểm BC
Do $\Delta BMD\sim \Delta BFC$
$\Rightarrow \frac{BD}{DM}= \frac{BC}{CF}$ $\Leftrightarrow \frac{BD}{2DM}= \frac{\frac{1}{2}BC}{CF}$
$\Leftrightarrow \frac{BD}{AD}= \frac{CK}{CF}$
Và $\widehat{BDA}= \widehat{BCA}\Rightarrow \Delta BDA\sim \Delta KCF$
$\Rightarrow \widehat{BAD}= \widehat{KFC} \Rightarrow \widehat{KFC}= \widehat{KEC}(= \widehat{BAD})$
$\Rightarrow$ Tg $KFEC$ nội tiếp mà $\widehat{EKC}= 90^{\circ}\Rightarrow \widehat{EFC}= 90^{\circ}$
$\Rightarrow$ ĐPCM

Cho $a,b,c$ ;à các số dương thỏa mãn  $a^{n}+b^{n}+c^{n}=k$ và $n,k\in N\ast$

Tìm Min của biểu thức $S=\frac{a^{n}}{1+nb^{n+1}}+\frac{b^{n}}{1+nc^{n+1}}+\frac{c^{n}}{1+na^{n+1}}$

 

 

Đặt $x^{2}+y^{2}+z^{2}=A$ 

$x+y+z=3\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=9-2(xy+yz+xz)\Leftrightarrow xy+yz+zx=\frac{9-A}{2}$

Mặt khác $3A=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x+xy^{2}+yz^{2}+zx^{2}\geqslant 3( x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ (vì $x^{3}+xy^{2}\geqslant 2x^{2}y$ )

$\Rightarrow A\geqslant x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$

Từ trên $\Rightarrow B=A+\frac{\frac{9-A}{2}}{x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x}\geqslant A+\frac{\frac{9-A}{2}}{A}=A+\frac{9}{2A}-\frac{1}{2}=A+\frac{9}{A}-\frac{9}{2A}-\frac{1}{2}\geqslant 6-\frac{1}{2}-\frac{9}{2A}$  (1)

Và $A= x^{2}+y^{2}+z^{2}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}=3\Leftrightarrow -\frac{9}{2A}\geqslant -\frac{3}{2}$

và Từ (1) $\Rightarrow B\geqslant 4$

dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$

Chứng minh $a^{4}+b^{4}\geqslant a^{3}b+ab^{3}$

Ta có $a^{4}-a^{3}b-(ab^{3}-b^{4})=(a-b)(a^{3}-b^{3})=(a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geqslant 0$

Do $a^{2}-ab+b^{2}=(a-\frac{1}{2}b)^{2}+\frac{3}{4}b^{2}>0$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant \sum (a^{3}b+ab^{3})$

$\Rightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(b+c)+b^{3}(c+a)+c^{3}(a+b)$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant a^{3}(3-a)+b^{3}(b-a)+c^{3}(3-c)= \sum 3a^{3}-a^{4}$

Chuyển vế $\Leftrightarrow 3(a^{4}+b^{4}+c^{4})\geqslant 3(a^{3}+b^{3}+c^{3})$

$\Rightarrow$ đpcm

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

Đến $\Leftrightarrow -\sqrt{2}\leqslant m\leqslant \sqrt{2}$

 

$\Rightarrow 3(\sqrt{2})^{2}-2(\sqrt{2})-3\leqslant 3m^{2}-2m-3\leqslant 3(\sqrt{2})^{2}-2(-\sqrt{2})-3$

$\Rightarrow 3-2\sqrt{2}\leqslant 3m^{2}-2m-3\leqslant 3+2\sqrt{2}$

$\Rightarrow \left |3m^{2}-2m-3 \right |\leqslant \left |3-2\sqrt{2} \right |$

Hoặc $\left | 3m^{2}-2m-3 \right |\leqslant \left |3+2\sqrt{2} \right |$

Mà $\left | 3+2\sqrt{2} \right |> \left | 3-2\sqrt{2} \right |$

$\Rightarrow \left | 3m^{2}-2m-3 \right |\leqslant \left | 3+2\sqrt{2} \right |= 3+2\sqrt{2}$

Vậy $A\leqslant \frac{3}{2}+\sqrt{2}$

Dấu bằng xảy ra khi $m= -\sqrt{2}$

Ta có $(a-1)^{2}\geqslant 0\Rightarrow a^{2}-a+1\geqslant a$

tương tự $b^{2}-b+1\geqslant b$

 

________
Làm tiếp thế nào?

mình nhầm dấu mà lỡ bấm gửi bài

Ta có $(a-1)^{2}\geqslant 0\Rightarrow a^{2}-a+1\geqslant a$

tương tự $b^{2}-b+1\geqslant b$

 

________
Làm tiếp thế nào?

$\frac{a^{2}}{b}+b-2a=\frac{(a-b)^{2}}{b}$

Thiết lập tương tự rồi cộng lại 

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}=a+b+c+\frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(b-c)^{2}}{c}+\frac{(c-a)^{2}}{a}\geq a+b+c+\frac{(a-b)^{2}}{b}+\frac{(a-b)^{2}}{c+a}\geq a+b+c+\frac{4(a-b)^{2}}{a+b+c}$

bài dưới có làm dc ko ạ 

Cho $a,b,c> 0$ . chứng minh:

$\frac{1}{1+2ab}+\frac{1}{1+2bc}+\frac{1}{1+2ca}+\frac{4(a+b+c)}{9}\geqslant \frac{7}{3}$