John Carterer

Đây là bộ đề thi đề nghị các trường cho kì thi Olympic 30-4 toán 10 năm 2001. Em nên đăng từng đề vào từng chủ đề riêng để dễ thảo luận.

Vâng   tại em đặt chủ đề sai

Trường: THPT Lê Quý Đôn (TPHCM)

Bài 1: Giải các phương trình:

1) $\frac{25}{\sqrt{x-5}}+\frac{1}{\sqrt{y-z}}+\frac{1369}{\sqrt{z-606}}=86-\sqrt{x-5}-\sqrt{y-3}-\sqrt{z-606}$

2) $\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}+2x+1}+\frac{x^{2}+3x+1}{x^{2}+4x+1}=\frac{5}{6}$

Bài 2: Chứng minh rằng:

$$\frac{\sqrt{27-24\sin48^{\circ}}}{6+24\sin8^{\circ}}> \frac{\sin \frac{\pi}{14}\sqrt{\cos \frac{\pi}{7}}}{1-\sin\frac{\pi}{14}}$$

Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho: $\overline{ab};\overline{ac}$ là các số nguyên tố và $b^{2}=\overline{cd}+b-c$

Bài 4: Gọi $m, n, p$ là $3$ nghiệm thực của phương trình

                   $ax^{3}+bx^{2}+cx-a=0$                 $\left ( a\neq 0 \right )$

Chứng minh rằng: $\frac{\sqrt{2}}{m}+\frac{\sqrt{3}}{n}-\frac{\sqrt{2+\sqrt{3}}}{p}\leq m^{2}+n^{2}+p^{2}$

Dấu $"="$ xảy ra khi nào?

Trường: THPT Chuyên Lê Hồng Phong (TPHCM)

Bài 1: Tìm tất cả các nghiệm số thực của phương trình:

$$64x^{6}-112x^{4}+56x^{2}-7= 2\sqrt{1-x^{2}}$$

Bài 2: Cho $n-$ giác đều cạnh $a$. Một điểm $M$ ở trong đa giác này. Gọi $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ lần lượt là khoảng cách từ $M$ đến các cạnh của đa giác.

Chứng minh rằng: $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+...+\frac{1}{x_{n}}> \frac{2\pi}{a}$

Trường: THPT Hùng Vương (Gia Lai)

Bài 1: Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \frac{x+\sqrt{x^{2}-y^{2}}}{x-\sqrt{x^{2}-y^{2}}}=\frac{9x}{5}\\ \frac{x}{y}=\frac{5+3x}{6(5-y)} \end{cases}$$

Bài 2: Gọi $A$ là hập hợp các số nguyên tố $p$ sao cho phương trình $x^{2} +x +1=py$ có nghiệm nguyên $x, y$

Chứng minh rằng $A$ là tập vô hạn.

Bài 3: Cho $n$ số thực dương $a_{1},a_{2},...,a_{n}$         $\left ( n\in \mathbb{N}^{*} \right )$

Chứng minh bất đẳng thức:

$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{2}{a_{1}+a_{2}}+\frac{3}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}+...+\frac{n}{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}< 4\left ( \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}} +...+\frac{1}{a_{n}}\right )$$

Bài 4: Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng nếu $\Delta ABC$ có góc lớn nhất là $C$ thì trọng tâm của nó nằm bên trong đường tròn có đường kính là $AB$

Trường: THPT Thị xã Sa Đéc (Đồng Tháp)

Bài 1: Giải phương trình:

$$\sqrt{1+\sqrt{1-x^{2}}}\left [ \sqrt{(1+x)^{3}}-\sqrt {(1-x)^{3}} \right ]= \frac{2}{\sqrt{3}}+\sqrt{\frac{1-x^{2}}{3}}$$

Bài 2: Cho $a_{1},a_{2},...,a_{n}$ là các số tự nhiên đôi một khác nhau và các ước số nguyên tố của chúng không lớn hơn $3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+...+\frac{1}{a_{n}}< 3$$

Bài 3: Tính giá trị:

$$A=\frac{1}{\sin^{2} \frac{\pi }{7}}+\frac{1}{\sin^{2} \frac{2\pi}{7}}+\frac{1}{\sin^{2}\frac{4\pi}{7}}$$

Bài 4: Tìm tập hợp những điểm $M(x;y)$ sao cho tọa độ $(x;y)$ của chúng thỏa mãn bất đẳng thức sau đây với mọi giá trị thực của $t$:

$$\sin^{2}(t+x)+\sin(t+y)+\sin(t+2x-y)+\frac{1}{4}> 0$$

Bài 5: Chứng minh rằng hình bình hành là tứ giác lồi duy nhất có tính chất: Tổng các khoảng cách từ mỗi đỉnh đến hai cạnh không đi qua nó là như nhau