tthandb

Bài 1:

$\left\{\begin{matrix} a,b,c>0\\ ab+bc+ca=3 \end{matrix}\right.$

CMR: $(a^7-a^4+3)(b^5-b^2+3)(c^4-c+3)\geq 27$

 

Bài 2:

$a_{1},a_{2}...a_{n}>0: a_{1}a_{2}...a_{n}=1$

CMR: $\sqrt{1+a_{1}^{2}}+\sqrt{1+a_{2}^{2}}+...+\sqrt{1+a_{n}^{2}}\leq \sqrt{2}(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})$

 

----Dùng đạo hàm  nhé !!!----

Bài 1:

a,b,c > 0. CMR:

$\frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2}+\frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2}+\frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \leq 8$

Bài 2:

a,b,c không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=2(ab+bc+ca)$

Tìm GTLN, GTNN: $F=\frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)}$

 

P/s: Nhân tiện mong AE VMF giải thích cho mình về phương pháp chuẩn hóa, thuần nhất với. Mình đọc mấy cái t.f(x) gì gì đó mà không hiểu gì cả.

                                                  TKS.

Cho $\Delta ABC$ trực tâm H. $\Delta$ đi qua H. $\Delta _{a}, \Delta _{b}, \Delta _{c}$ đối xứng với $\Delta$ qua $BC,CA,AB$.

Chứng minh rằng:  $\Delta _{a}, \Delta _{b}, \Delta _{c}$ đồng quy.

Trước tiên, ta có:

 

$\frac{1}{(1+a)^2}+\frac{1}{(1+b)^2}\geq \frac{1}{1+ab}$  (thuần túy biến đổi tương đương).

 

Áp dụng vào bài toán ta có:

 

$VT\geq \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+cd}= \frac{1}{1+ab}+\frac{1}{1+\frac{1}{ab}}=\frac{1}{1+ab}+\frac{ab}{1+ab}=1$

 

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d=1$ .

Các ACE vào tham khảo và dưa ra lời giải hay nhé!

Cho tứ giác ABCD. Phân giác góc A cắt phân giác góc B tại X, phân giác góc C cắt BX tại Y, phân giác góc D cắt CY tại Z, phân giác góc A cắt DZ tại T. Tia DA cắt tia CB tại P, tia AB cắt tia DC tại S. Chứng minh rằng:

1. (S,Y,T) và (P,X,Z) thẳng hàng.

2. Tứ giác XYZT nội tiếp.

3. $H_{x}, H_{y}, H_{z}, H_{t}$  lần lượt là trực tâm của $\Delta YZT, \Delta ZTX,\Delta TXY, \Delta XYZ$.

CMR: $XH_{x}, YH_{y}, ZH_{z}, TH_{t}$ có cùng trung điểm Q.

4. M, N là trung điểm của AC, BD. CMR: M,N,Q thẳng hàng.

 

BỔ ĐỀ:

 

Với điểm O bất kì thuộc đoạn MN, ta có đẳng thức sau:

$S_{\Delta OAB}+S_{\Delta OCD}=S_{\Delta OBC}+S_{\Delta ODA}$ đúng khi và chỉ khi $S_{\Delta OMN}=\pm\frac{1}{4}\left[\left (S_{\Delta OAB}+S_{\Delta OCD}\right)-\left( S_{\Delta OBC}+S_{\Delta ODA}\right)\right]$

Bài 1: Cho $a,b,c>0$; $abc = 1$ và số thực $n > 3$. CMR: $\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{3n}{a+b+c}\geq 3+n$.

 

Bài 2: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\frac{a}{b^3+b}+\frac{b}{c^3+c}+\frac{c}{a^3+a}\geq  \frac{3}{2}$.

 

Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR: $5+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$.

 

Bài 4: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\geq 3$.

 

Bài 5: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}.$

1)


\[\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^{2}+4})(y+\sqrt{y^{2}+1})=2\\ 12y^{2}-10y+2=2 \sqrt[3]{x^{3}+1} \end{matrix}\right.\]

2)
\[\left\{\begin{matrix} y+\sqrt{y^{2}-2y+5}=3x+\sqrt{x^{2}+4}\\y^{2} -x^{2}-3y+3x+1=0 \end{matrix}\right.\]

3)
\[\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}-y=(2x+1)(y-1)\\ \sqrt{3x-8}-\sqrt{y}=\frac{5}{x+y+2} \end{matrix}\right.\]

4)
\[\left\{\begin{matrix} x+3y+1=y^{2}-\frac{1}{y}+\frac{3x+y}{\sqrt{x+1}}\\ \sqrt{9y-2} + \sqrt[3]{7x+2y+2}=2y+3 \end{matrix}\right.\]


6)
\[\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+x+\sqrt{x+2}=2y^2+y+\sqrt{2y+1}\\ x^{2}+2y^2-2x+y-2=0 \end{matrix}\right.\]

7)
\[\left\{\begin{matrix} 3(x+y)-2\sqrt{xy}=8\\\sqrt{x+7}+ \sqrt{y+7}=6 \end{matrix}\right.\]
8)
\[\left\{\begin{matrix} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4\\ \sqrt{x+7} + \sqrt{y+7} = 6 \end{matrix}\right.\]
 
 
 

Rất cảm ơn mọi người đã cùng bình luận, cùng giải những bài toán trên. )

Bài 1: Cho a,b là các số dương thỏa mãn điều kiện $ab=1$ .CMR:

 

$(a+b+1)(a^{2}+b^2)+\frac{4}{a+b}\geq 8$

Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Gọi P là nửa chu vi tam giác đó. CMR:

 

$(p-a)(p-b)(p-c)\leq \frac{1}{8}abc$

 

Bài 3: Cho  $x\geq 3,y\geq 2,z\geq 1$ . CMR:

 

$\frac{xy\sqrt{z-1}+xz\sqrt{y-2}+yx\sqrt{x-3}}{xyz}\leq \frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{6}$

 

Bài 4: Cho a,b là các số thực dương. CMR:

 

$\sqrt{2a(a+b)^{3}}+b\sqrt{2(a^{2}+b^{2})}\leq 3\left ( a^{2}+b^{2} \right )$

 

Bài 5: CMR với mọi x,y,z ta có:

 

$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sqrt{2}(xy+yz)$

 

Bài 6: Cho thỏa mãn abc = 1. CMR:

 

$\frac{a^{3}}{(1+a)\left ( 1+b \right )}+\frac{b^{3}}{(1+b)\left ( 1+c \right )}+\frac{c^{3}}{(1+c)\left ( 1+a \right )}\geq \frac{3}{4}$

 

Bài 7: Cho 3 số thực không âm a,b,c. CMR:

 

$(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 4\left ( a+b+c \right )\left ( a-b \right )\left ( b-c \right )\left ( c-a \right )$

 

Bài 8: Cho $a,b,c\geq 0$ và $a+b+c=3$ . CMR:

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{2}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{2}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{2}}\geq 1$

 

$\frac{a^{2}}{a+2b^{3}}+\frac{b^{2}}{b+2c^{3}}+\frac{c^{2}}{c+2a^{3}}\geq 1$

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$