NMDuc98

Với mọi số thực k<1; $a_{1},a_{2},...,a_{n} và m là các số thực dương$; n là số tự nhiên không âm

CMR: $\sqrt[m]{\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}}\geq \frac{\sqrt[m]{a_{1}}+\sqrt[m]{a_{2}}+...+\sqrt[m]{a_{n}}}{n}$

Thế $k<1$ đóng vai trò gì bạn!

Cho $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a+b+c=\frac{\pi }{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

$A=\sqrt{1+tana.tanb}+\sqrt{1+tanb.tanc}+\sqrt{1+tanc.tana}$

Chú ý rằng: Với $a+b+c= \frac{ \pi}{2}$ thì $\tan a. \tan b+\tan b.\tan c+\tan c. \tan a=1.~~~~~~(*)$

Khi đó áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$$\left ( 1+\tan a.\tan b \right )+\frac{4}{3} \ge \frac{4}{\sqrt{3}}.\sqrt{1+\tan a.\tan b}$$

Tương tự rồi cộng lại và áp dụng $(*)$ suy ra Max.

Tổ Hợp Xác Suất-Nguyễn Minh Đức  Tổ Hợp Xác Suất-Nguyễn Minh Đức.pdf   707K   3333 Số lần tải

Kì thi vừa kết thúc hôm qua bạn nào có đề cho mình với   

Cho hỏi kí hiệu $\cap$ cũng là $\bigcap$ phải không

Tất nhiên là vậy rồi! Chỉ khác giữa từ 'big" thôi mà! Cũng như ta viết trên giấy cái to cái nhỏ vậy thôi!

Áp dụng C-S ta có:

$P=\frac{x^2}{\frac{1}{m}}+\frac{y^2}{\frac{1}{n}}+\frac{z^2}{\frac{1}{p}}\geq \frac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}}\geq \frac{3(xy+yz+za)}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}}=\frac{3}{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}+\frac{1}{p}}$

Đánh giá thế không ổn đâu nhé! Đảm bảo dấu $=$ tại các đánh giá như nhau chưa????

Trên đường cong $y= 4x^2-6x+3$, hãy tìm tiếp điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng y=2x

Ta có: $$y'=8x-6$$

Tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=2x$ nên có hệ số góc là $k=2$.

Vậy hoành độ tiếp điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=2x$ là nghiệm của phương trình:

$$y'=k \Leftrightarrow 8x-6=2 \Leftrightarrow x=1$$

Với $x=1$ suy ra $y=1$.

Vậy tiếp điểm thỏa mãn đề bài là $M(1;1)$

Rút gọn.

 

2) $B=\left ( 1+\frac{1}{\cos x} \right )\left ( 1+\frac{1}{\cos 2x} \right )\left ( 1+\frac{1}{\cos 4x} \right )\left ( 1+\frac{1}{\cos 8x} \right )...\left ( 1+\frac{1}{\cos 2^{n-1}x} \right )$

 

Chú ý: 

$$1+\frac{1}{\cos 2^n a}=\frac{\tan 2^n a}{\tan 2^{n-1}a}$$

Rút gọn.

3) $C=\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\sin 2x}+...+\frac{1}{\sin 2^n x}$

 

Chú ý: 

$$ \cot a-\cot 2a=\dfrac{1}{\sin 2a}$$

Cho a,b,c >0 và abc+a+c=b

Tìm GTNN của $M = \frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\dfrac{1}{b^2+c^2+2}+\dfrac{1}{c^2+a^2+2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+2}\leqslant \dfrac{3}{4}$$

Bài toán khá hay đó! Bạn tham khảo thêm ở đây:   Điều kiện ít nhất-VQBC.pdf   252.85K   90 Số lần tải

2. Chứng minh bđt với mọi tam giác ABC: 

$cos^2\frac{A-B}{2}+cos^2\frac{B-C}{2}+cos^2\frac{C-A}{2}\geq 24.sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}$

Ta có:

$$\cos\frac{A-B}{2}-\cos\frac{A+B}{2}=2\sin \frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} ~~~~(1)\\ \cos \frac{A+B}{2}=\sin\frac{C}{2}~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ và áp dụng BĐT AM-GM ta có ngay:

$$\cos\frac{A-B}{2}=\sin\frac{C}{2}+2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2} \ge 2\sqrt{2\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}}\\ \Rightarrow \cos^2\frac{A-B}{2} \ge 8.\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$$

Tương tự với hai cái còn lại cộng vế theo vế là được điều phải chứng minh.

Dấu $=$ xảy ra khi $\Delta ABC$ đều.

Cho phương trình : $x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$ có ít nhất một nghiệm thực

(với a,b là các số thực)

Tìm giá trịnh nhỏ nhất của $a^2+b^2$

Hướng Dẫn:

Gọi $x_0$ là một nghiệm của phương trình đã cho.Hiển nhiển $x_0 \ne 0$.

Khi đóa ta suy ra:

$$x_0^4+ax_0^3+bx_0^2+ax_0+1=0\\ \Leftrightarrow x_0^2+ax_0+b+\frac{a}{x_0}+\frac{1}{x_0^2}=0\\ \Leftrightarrow at+b=2-t^2 ~~~~\left ( t=x_0+\frac{1}{x_0}\rightarrow |t| \ge 2\right )$$

Mặt khác theo BĐT BCS thì:

$$(at+b)^2 \le (a^2+b^2)(t^2+1)\Rightarrow a^2+b^2 \ge \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1}~~~~~(*)$$

Mặt khác:

$$\frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} -\frac{4}{5}=\frac{(5t^2-4)(t^2-4)}{5(t^2+1)} \ge 0~~~\forall |t| \ge 2\\ \Rightarrow \frac{\left ( 2-t^2 \right )^2}{t^2+1} \ge \frac{4}{5} ~~~\forall |t| \ge 2~~~~(**)$$

Từ $(*)$ và $(**)$ rút ra kết luận!

Đề thi chọn đội tuyển HSG QG tỉnh Lâm Đồng năm học 2014-2015

 

 

2014 - 2015 chon Doi tuyen_2.jpg

Câu BĐT:
 

Ta có bổ đề: 
Với $x>0$ thì: $$x^3+\frac{2}{x}\ge 2+x~~~~(*)$$

Thật vậy:

$(*) \Leftrightarrow \frac{(x-1)^2(x^2+2x+2)}{x} \ge 0$ ( Luôn Đúng)

Dấu $=$ xảy ra khi $x=1$.

Áp dụng $(*)$ ta suy ra:
$$ VT \ge a+b+c+6=9=(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ca)$$

Vậy ta có dpcm