NMDuc98

Cho x,y,z là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=1$. Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất (nếu có ) của biểu thức : $P=xy+yz+zx-2xyz$

Ta chứng minh BĐT sau:

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$

Thật vây:

$(x+y-z)(y+z-x)\leq \frac{(x+y-z+y+z-x)^{2}}{4}=y^2$       (1)

Tương tự:

$(y+z-x)(x+z-y)\leq z^2$                                                (2)

$(x+z-y)(x+y-z)\leq x^2$         (3)

Nhận vế theo vế (1);(2) và (3) ta có :

$xyz\geq (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)$

$<=> xyz \geq (1-2x)(1-2y)(1-2z)$

$<=>xy+yz+zx\leq \frac{1}{4}+\frac{9xyz}{4}$

=>$P=xy+yz+zx-2xyz\leq \frac{1}{4}+\frac{xyz}{4}\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\left ( \frac{x+y+z}{3} \right )^3=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.\frac{1}{27}$

$=\frac{7}{27}$

$=>MaxP=\frac{7}{27}.$Dấu "=" xảy ra $x=y=z=\frac{1}{3}$

Mình xin đóng góp:
1/Cho a,b,c$\geq 0$ thỏa mãn $ab+bc+ca> 0$ .CMR:
$\frac{a}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{b}{c^{2}+ca+a^{2}}+\frac{c}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{a+b+c}{ab+bc+ca}$
2/cho a,b,c $\geq 0$ .CMR:
a)$\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} \right )^{2}\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})$
b)$(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)\geq 4(a+b+c+1)^2$
c)$4(a^2+x^2)(b^2+y^2)(c^2+z^2)\geq 3(bcx+cay+abz)^2$
d)$2(1+abc)+\sqrt{2(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$
e)$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

2)  

 

bài 59: GPT

$x^{2}-3x+9=9\sqrt[3]{x-2}$

61:Giải hệ $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+\frac{2xy}{x+y}=1\\ \sqrt{x+y}=x^{2}-y \end{matrix}\right.$

Bài 62: Cho $a,b,c>0$. CM: $\sqrt{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}\geq abc+\sqrt[3]{(a^{3}+abc)(b^{3}+abc)(c^{3}+abc)}$

66:Tìm $x$ để biểu thức $y=x-\sqrt{x-1991}$ đạt min

67:Tìm $(x;y))$ thoả mãn phương trình: $5x-2\sqrt{x}(2+y)+y^{2}+1=0$

69: Giải phương trình: $\sqrt{x^{2}-\frac{1}{4}+\sqrt{x^{2}+x+\frac{1}{4}}}=\frac{1}{2}(2x^{3}+x^{2}+2x+1)$

70: giải phương trình: $x^{2}+4x+7=(x+4)\sqrt{x^{2}+7}$

 

Bài 67: 

Cách 1:

Điều kiện: $x\geq 0$

Đặt:$\sqrt{x}=z$ $(z\geq 0)$ 

=> Ta có phương trình:$5z^2-2(2+y)z+y^2+1=0$            (*)

Xem (*) là phương trình bậc 2 ẩn z

=> $\bigtriangleup' =(2+y)^2-5(y^2+1)=-(2y-1)^2\leq 0 \forall y$

Để phương trình (*) có nghiệm thì :$\bigtriangleup' =0<=>y=\frac{1}{2}$

Thế vào phương trình ban đấu tìm được:$x=\frac{1}{4}$

=> $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{1}{2})$

Cách 2:

Ta có:

Phương trình đã cho tương đương với:

$(4x-4\sqrt{x}+1)+y+2y\sqrt{x}+x=0 <=>(2\sqrt{x}-1)^2+(y-\sqrt{x})^2=0$

$<=> 2\sqrt{x}-1=y-\sqrt{x}=0<=> (x;y)=\left ( \frac{1}{4};\frac{1}{2} \right )$

1) tìm x,y nguyên dương để (x^{2} -3) chia hết cho (x-y+3)

2) tìm tất cả các số nguyên x,y thỏa xy-2x-3y+1=0

2)$xy-2x-3y+1=0<=>y(x-3)=2x-1<=>y=\frac{2x-1}{x-3}<=>y=2+\frac{5}{x-3}$

=> y nguyên khi và chỉ khi:$\frac{5}{x-3}$ nguyên

=> x-3 nhận các giả trị:$\pm 1;\pm 5$

Với $x-3=1<=>x=4=>y=7$

Với $x-3=-1<=>x=2=>y=-3$

Với $x-3=5<=>x=8=>y=3$

Với $x-3=-5<=>x=-2=>y=1$

=> Nghiệm $(x;y)=(4;7),(2;-3),(8;3),(-2;1)$

Giải phương trình sau $x^2-3x+1+\sqrt{2x-1}=0$

ĐK:$x\geq \frac{1}{2}$

$<=> x^{2}-x-2x+1+\sqrt{2x-1}=0$

$<=> x^{2}-x-(2x-1)+\sqrt{2x-1}=0$

Đặt:$\sqrt{2x-1}= a$  $(a\geq 0)$

=> Phương trình trở thành:

$x^{2}-x-a^{2}+a=0$

$<=>(x-a)(x+a)- (x-a)=0$

$<=>(x-a)(x+a-1)=0$

$<=>x=a$ hoặc $a=1-x$

Với:$x=a$

=> $x=\sqrt{2x-1}<=> x^2=2x-1<=> x^2-2x+1=0<=>x=1$

Với:$a=1-x$ $(x\leq 1)$

=>  $\sqrt{2x-1}=1-x<=> 2x-1=1-2x+x^2<=> x^2-4x+2=0$

<=>$x=2-\sqrt{2}$ hoặc x=$x=2+\sqrt{2}$ (loại)

<=>$x=2-\sqrt{2}$

=> Phương trình đã cho có hai nghiệm: $x=1$ hoặc $x=2-\sqrt{2}$

CMR: với x,y,z >0 và x^2+y^2+z^2=1

$\dfrac{x}{y^2+z^2}+\dfrac{y}{x^2+z^2}+\dfrac{z}{x^2+y^2}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{2}$

Theo BĐT Cô-si ta có:

$x^{2}(y^{2}+z^{2})^{2}=\frac{1}{2}.2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})$

$\leq \frac{1}{2}\left ( \frac{2x^{2}+1-x^{2}+1-x^{2}}{3} \right )^{3}=\frac{4}{27}$

=>$x(y^{2}+z^{2})\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}$

$<=>\frac{x}{y^{2}+z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.x^{2}$         (1)

Tương tự:

$\frac{y}{z^{2}+x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.y^{2}$               (2)

$\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}.z^{2}$                (3)

Cộng vế theo vế (1),(2) và (3) ta được:

$\frac{x}{y^{2}+z^{2}}+\frac{y}{z^{2}+x^{2}}+\frac{z}{x^{2}+y^{2}}\geq\frac{3\sqrt{3}}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=>$x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}$

$Mình có bài này mong các bạn giải giùm:$

$Cho x;y>0.$ $Tìm max \frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y}$

Mình đang học lớp 8.

Ta có:

$\sqrt{\frac{x-1}{x}}=\sqrt{\frac{1.(x-1)}{x}}\leq \frac{\frac{1+x-1}{2}}{x}=\frac{1}2{}$

Dấu "=" xảy ra <=>$1=x-1<=> x=2$

$\frac{\sqrt{2}.\sqrt{y-2}}{y} \leq \frac{\frac{2+y-2}{2}}{y}=\frac{1}2{}$

=>$\frac{\sqrt{y-2}}{y}\leq \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Dấu "=" xảy ra <=> $2=y-2<=> y = 4$

=>$\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-2}}{y} \leq \frac{1}2{}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$

=> Max của $\sqrt{\frac{x-1}{x}}+ \frac{\sqrt{y-2}}{y}=\frac{1}2{}+\frac{1}{2\sqrt{2}}$

Tại $x=2,y=4$

 

Bài 1. (4 điểm) Tính các góc của tam giác $ABC$, biết tam giác $ABC$ thỏa cả $3$ điều kiện sau:

 

$\left\{\begin{matrix} & \widehat{A}> \widehat{B}> \widehat{C} & \\ & cos3A+cos3B+cos3C=1 & \\ & sin5A+sin5B+sin5C=0 & \end{matrix}\right.$

 

Bài 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau:

 

1. $x^{2}-2xsin(xy)+1= 0$

2. $\sqrt{4x^{2}+5x+1}-2\sqrt{x^{2}-x+1}= 9x-3$

 

Bài 3. (2.5 điểm) Giải bất phương trình : $4\left ( x^{3}-2x+1 \right )\left ( sinx+2cosx \right )\geqslant 9\left | x^{3}-2x+1 \right |$

 

Bài 4. (3.5 điểm) Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa $a+b+c\leqslant \frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$S= \sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{ b^{2}}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{c^{2}}}$

 

Bài 5. (3 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A\left ( 2;2 \right )$ và hai đường thẳng $d_{1}:x+y-2= 0,d_{2}:x+y-8= 0$. Tìm $B,C$ tương ứng trên $d_{1}$ và$d_{2}$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$.

 

Bài 6. (3.0 điểm) Cho hình thang $ABCD$,đáy lớn $AB$ cố định $($với $AB=a$$)$,đáy nhỏ $CD$ có độ dài $CD=b$ không đổi. $CD$ chuyển động sao cho hai cạnh bên $AD+BC=1$. Giả sử $M$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$. Tìm quỹ tích của điểm $M$.

Theo mathsope

 

Bài 4:

Ta có:

$\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b^{2}}}=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{16b^{2}}+...+\frac{1}{16b^{{2}}}}$ (16 hạng tử $\frac{1}{16b^{2}}$ )

$\geq \sqrt[17]{\frac{a^{2}}{16^{16}.b^{32}}}$

Tương tự: 

$\sqrt{b^{2}+\frac{1}{c^{_{2}}}}\geq \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{b^{2}}{16^{16}.c^{32}}}}$

$\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a^{_{2}}}}\geq \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{c^{2}}{16^{16}.a^{32}}}}$

=> S$\geq \sqrt{17\sqrt[17]{\frac{b^{2}}{16^{16}.c^{32}}}} +\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{b^{2}}{16^{16}.c^{32}}}}+\sqrt{17\sqrt[17]{\frac{c^{2}}{16^{16}.a^{32}}}}$

=$\sqrt{17}\left [ \sqrt[17]{\frac{a}{16^{8}.b^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{b}{16^{8}.c^{16}}}+\sqrt[17]{\frac{c}{16^{8}.a^{16}}} \right ]$

$\geq 3\sqrt{17}\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{abc}{16^{24}.a^{16}b^{16}c^{16}}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{16^{8}a^{5}b^{5}c^{5}}}$

$\geq 3\sqrt{17}\sqrt[3]{\sqrt[17]{\frac{abc}{16^{24}.a^{16}b^{16}c^{16}}}}=3\sqrt{17}.\sqrt[17]{\frac{1}{16^{8}a^{5}b^{5}c^{5}}}=\frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{(2a.2b.2c)^{5}}}$

$\geq \frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\left ( \frac{2a+2b+2c}{3} \right )^{15}}}= \frac{3\sqrt{17}}{2\sqrt[17]{\left [ \frac{2(a+b+c)}{3} \right ]^{15}}}\geq \frac{3\sqrt{17}}{2}$

Dấu "=" xảy ra <=> $a=b=c=\frac{1}2{}$

Mình có bài này mong các bạn giải giùm:

Cho $x;y;z$ dương, $x+y+z=3$. Chứng minh:

$\frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}}+\frac{y}{y+\sqrt{3y+xz}}+\frac{z}{z+\sqrt{3z+xy}}\leq 1$

Mình đang học lớp 8 nhé

Thanks

Ta có:$x^{2}+yz\geq 2x\sqrt{yz}$

$x+\sqrt{3x+yz}=x+\sqrt{(x+y+z)x+yz}$$=x+\sqrt{x(y+z)+x^{2}+yz}\geq x+\sqrt{x(y+z)+2x\sqrt{yz}}=x+\sqrt{x}(\sqrt{y}+\sqrt{z})=\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

$=> \frac{x}{x+\sqrt{3x+yz}} \leq \frac{x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})}$$=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}}$

Chứng minh tương tự đối với hai cái còn lại  !!!