NMDuc98

Chứng minh rằng nếu $1+2^n+4^n$ ( với $n \in \mathbb{N}$ ) là số nguyên tố thì $n=3^k$ với $k \in \mathbb{N}$.

PS: Cần một lời giải mới!

Cho hai dường tròn $(O)$ và $(O')$ cắt nhau tại $A,B$. Đường thẳng $d$ quay quanh $B$ cắt $(O)$ và $(O')$ tại $C,D$ tương ứng. Gọi $M$ là trung điểm $CD$. $AM$ lại cắt $(O')$ tại $P$. Đường thẳng qua $M$ vuông góc với $OM$ cắt $AC$ tại $Q$. Chứng minh rằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định. 

Cho $(O)$ là một đường tròn cố định và $A,B$ là hai điểm cố định trên $(O)$ sao cho $A,B,O$ không thẳng hàng. Điểm $C$ di động trên $(O)$ ( $C$ khác $A,B$). Gọi $(O_1), (O_2)$ lần lượt qua $A,B$ và lần lượt tiếp xúc với $BC,AC$ tại $C$. $(O_1)$ cắt $(O_2)$ tại $D~~(D \ne C)$. Đường thẳng $AD$ và $BD$ cắt $(O_2)$ , $(O_1)$ tại $E$ và $F$  $(E,F \ne D)$. Chứng minh đường thẳng qua $C$ và vuông góc với $EF$ luôn đi qua một đường thẳng cố định. 

Cho số nguyên $a$. Chứng minh rằng:

Phương trình: $x^4-7x^3+(a+2)x^2-11x+a=0$ không thể có nhiều hơn $1$ nghiệm nguyên.

Giải phương trình nghiệm nguyên: $x^2+y^2+z^2+t^2=10.2^{2008}$