raquaza

Cho ma trận A cỡ m*n. Chứng minh rằng tồn tại ma trận B cỡ N*m khác 0( ma trận 0) để AB=0.

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+y-1}+\sqrt{1-y}=y+2\\\sqrt{x^2-y}+\sqrt{xy-y}=x\sqrt{x} \end{matrix}\right.$

cho 2 số thực dương a,b thỏa mãn $a+b\leq 2$

tìm max của biểu thức $\frac{a}{a^2+2b^2+1}+\frac{b}{b^2+2a^2+1}$

chứng minh rằng $\frac{1}{\sqrt{x^2+8}}+\frac{1}{\sqrt{8x^2+1}}\geq \frac{x-1/3}{x^2}$

$2x^3+3x^2+8x+2\geq x(2x+3)\sqrt{x^2+\frac{2}{x}+6}$

giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} (x+y)(\frac{1}{xy}+3)=\frac{6(x^2+y^2)+4}{\sqrt{2(x^2+y^2)}}\\ 4-x^2-y^2=2\sqrt{2xy}+\sqrt{2-x^2-y^2} \end{matrix}\right.$

Từ phương trình suy ra được $x^3>0\Rightarrow x>0$

Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta có:

$\sqrt{(5-x^2).1}\leq\frac{5-x^2+1}{2}=\frac{6-x^2}{2}$

Do đó, $6x^3(\sqrt{5-x^2}+3)\leq 3x^3(12-x^2)$

Từ pt và điều trên, ta suy ra được:

$128+x^6\leq 3x^3(12-x^2)$

$\Leftrightarrow x^6+3x^5-36x^3+128\leq 0$

$\Leftrightarrow x^6-4x^5+4x^4+7x^5-28x^4+28x^3+24x^4-96x^3+96x^2+32x^3-128x^2+128x+32x^2-128x+128\leq 0$

$\Leftrightarrow (x^2-4x+4)x^4+7x^3(x^2-4x+4)+24x^2(x^2-4x+4)+32x(x^2-4x+4)+32(x^2-4x+4)\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2(x^4+7x^3+24x^2+32x+32)\leq 0$ $(1)$

Ta có: $x^4+7x^3+24x^2+32x+32>0$ với $x>0$

Do đó, $(1)\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 0$

$\Leftrightarrow x=2$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=2$

P/S: Cách hơi trâu.      

hay. đánh giá theo kiểu này đỡ hơn tí xíu $x^{6}+64+64\geq 3.16.x^2\geq 6x^3(\frac{1+5-x^2}{2})\geq 6y^3(3+\sqrt{5-x^2})$

cho 3 số thực a,b,c không âm sao cho tổng 2 số bất kì lớn hơn 0. Chứng minh rằng

$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{c+a}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}+9\frac{\sqrt{ab+bc+ac}}{a+b+c}\geq 6$

cho a,b,c>0, $n\in N*$ chứng minh rằng 

$\frac{a^{n}}{b+c}+\frac{b^{n}}{a+c}+\frac{c^{n}}{b+c}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{a+b+c}{3} \right )^{n-1}$

cho a,b,c>0 thỏa ab+bc+ac=3.CMR

$\frac{1}{1+a(b+c)}+\frac{1}{1+b(a+c)}+\frac{1}{1+c(b+a)}\leq \frac{1}{abc}$

$\sum \frac{1}{1+ab+ac}=\sum \frac{2+bc}{(1+ab+ac)(bc+1+1)}\leq \sum \frac{2+bc}{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})^{2}}=\frac{6+ab+bc+ac}{(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc})^{2}}\leq \frac{9}{9\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}}\leq \frac{1}{abc}$

(vi ab+bc+ac=3$\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}$ suy ra$abc\leq 1$)

chứng minh bất đẳng thức holder dạng $(a^{3}+b^{3}+c^{3})(x^{3}+y^{3}+z^{3})(m^{3}+n^{3}+p^{3})\geq (axm+byn+czp)^{3}$

với a,b,c,x,y,z,m,n,p là số thực dương.

cho 3 số dương a,b,c cmr

$(a^{2}+1)(b^{2}+1)(c^{2}+1)\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^{2}$

 

 

\[\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 1\]

 

http://diendantoanho...inxsin2xsin3x1/

có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 8 chữ số từ 1,2,3,4 mỗi chữ số có mặt 2 lần và không có 2 số giống nhau đứng cạnh nhau

http://diendantoanho...000-kc-2013500/

đã có tại đây nhé