hoangson2598

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca+abc=4.Cmr:

$3(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}})^2\geq (x+2)(y+2)(z+2)$

Đề Bắc Giang à

$\left\{\begin{matrix} x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3+y+2=0 & \\ \sqrt[3]{y^2-3}-\sqrt{xy^2-2x-2}+x=0 & \end{matrix}\right.$

Nếu phương trình (1) viết lại như sau: $x^2+(y^2-y+1)\sqrt{x^2+2}-y^3-y+2=0$

Đặt: $a=\sqrt{x^2+2},a>0$

Viết lại phương trình (1): $(y-a)[y^2+2(a+1)]=0$

Do điều kiện nên: $y^2+2(a+1)>0$

Suy ra: $y^2-x^2=2$

Từ đó thế vào (2) ta giải phương trình: $\sqrt[3]{x^2-1}+x=\sqrt{x^3-2}$

Ta được x=3.

Do y>0 Nên $y=\sqrt{11}$

Chắc có chút nhầm lẫn với đề chuyên Hà Tĩnh

Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR:

$\sum \frac{1}{a} +\frac{9}{a+b+c} \geq 4\sum \frac{1}{a+b}$

Nhìn bạn bên trên giải mà sợ quá.

Bài này quy đồng lên là xong chứ sao.

Nhân 2 vế với (a+b+c) ta được:

$3+\sum \frac{a}{b}+\sum \frac{a}{c}+9\geq 4(3+\sum \frac{a}{b+c})\Leftrightarrow \sum (\frac{a}{b}+\frac{a}{c})\geq \sum \frac{4a}{b+c}$ (luôn đúng theo cosi)

Bài 141:

Cho $0\leq a\leq b\leq 1\leq c$ và  $2b^2+c^2+4(2a+b+c)=18$

Tìm max $P=ab^2+bc^2+ca^2-\frac{13}{2a-5b+6(\sqrt{b}+\sqrt[3]{4bc})}$

Chỉ cần sách đủ hay để mình thích đọc là sẽ tập trung. Khi đấy càng đọc sẽ càng tập trung. Trừ khi mình không cảm nhận được cái hay của nó thôi

CHo a;b;c là các số thực dương thỏa mãn: $ab+bc+ac=1$

CMR                 $\large a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\leq \sqrt{2(a+b+c)}$

Áp dụng bunhia:

$VP=\sum \sqrt{a}\sqrt{ab+ac}\leqslant \sqrt{(a+b+c)(2ab+2ac+2bc)}=\sqrt{2(a+b+c)}=VT$

Bài 51

Cho $\frac{1}{3}< x\leq \frac{1}{2}$ và $y\geq 1$

Tìm giá trị nhỏ nhất:

$P=x^2+y^2+\frac{x^2y^2}{((4x-1)y-x)^2}$

Tìm GTNN của

$P=\frac{\sqrt{3(2x^2+2x+1)}}{3}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3-\sqrt{3})x+3}}+\frac{1}{\sqrt{2x^2+(3+\sqrt{3})x+3}}$

Em nghĩ đề là : 

Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng  :

$\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}+(\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca})^{2}\geq 28$

Giải (theo đề sửa) : 

_ Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM, ta có : 

$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{27}\geq abc\Leftrightarrow \frac{1}{abc}\geq \frac{27}{(a+b+c)^{3}}\Leftrightarrow \frac{(a+b+c)^{3}}{abc}\geq 27$

_ Có đánh giá quen thuộc : 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\Leftrightarrow \frac{1}{ab+bc+ca}\geq \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\Leftrightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}\geq 1$

_ Bình phương BĐT 2 lên rồi cộng lại, ta có điều phải chứng minh.

_ Dấu "=" khi : $a=b=c$

Đề đúng rồi đấy, không đơn giản dùng cosi ra luôn được đâu.

$(x-1)(y-1) \ge 0 \Rightarrow xy + 1 \ge x+y $
Tương tự $ yz + 1 \ge y+z $ và $ zx + 1 \ge z+x $
Cộng các vế vào ta được $ xy+yz+xz +3 \ge 2(x+y+z) $
Vì $ xyz \leq 1 $ nên $ 2(x+y+z) \ge ( 1+xyz)(x+y+z) $
Do đó : $xy+yz+xz +3 \ge (1+xyz)(x+y+z) $ $ \Leftrightarrow \[\left( {1 + \frac{1}{{xyz}}} \right)\left( {x + y + z} \right) \leq 3 + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}\] $
 

Chia hai vế cho xyz đoạn cuối thì $\frac{3}{xyz}\geq 3$ mà. Không suy được.

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A=x+y+1, biết $x^{2} + 2xy + 7(x+y) + 2y^{2} + 10 = 0$

Từ giả thiết suy ra: 

$(x+y)^2+7(x+y)+10=-y^2\leq 0\Leftrightarrow -5\leq x+y\leq -2\Leftrightarrow -4\leq A\leq -1$

Kết luận $MinA=-4$ khi $x=5$, $y=0$

              $MaxA= -1$ khi $x=-2$, $y=0$

bất đẳng thức sai rồi bạn 

Áp dụng bunhia: 

$(mn+1)(\frac{m}{n}+1)\geq (m+1)^2\Leftrightarrow \frac{1}{(m+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}(\frac{n}{m+n})$

Tương tự ta có $\frac{1}{(n+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}(\frac{m}{m+n})$

Cộng vào suy ra 

$\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}\geq \frac{1}{mn+1}$

giải hpt: 

 

$\frac{2}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}}+\frac{1}{x+\sqrt{y(2x-y)}}=\frac{2}{y+\sqrt{X(2x-y)}}$ 

$2(y-4)\sqrt{2x-y-3}-(x-6)\sqrt{x+y+1}=3(y-2)$

chia cả hai mẫu của phương trình 1 cho y rồi đặt $\frac{x}{y}=a$ ta được

$\frac{1}{(\sqrt{a}+1)^2}+\frac{1}{(\sqrt{2a-1}+1)^2}=\frac{1}{1+\sqrt{a(2a-1)}}$

Đặt $\sqrt{a}=m$, $\sqrt{2a-1}=n$ ta được:

$\frac{1}{(m+1)^2}+\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{1}{1+mn}$ 

Một bđt quen thuộc suy ra 

$m=n\Leftrightarrow a=2a-1\Leftrightarrow a=1\Leftrightarrow x=y$

 

 

Từ giả thiết$=>\frac{(x+y+z)^3-1}{3(x+y+z)}=xy+yz+zx$

$=>P=(x+y+z)^2-\frac{2(x+y+z)^3-2}{3(x+y+z)}=t^2+\frac{2t^3-2}{3t}$

Ta có: $P'(t)=\frac{2(t^3-1)}{2t^2}=0<=>t=1$

$=>P\geqslant 1$

 

Từ giả thiết$=>\frac{(x+y+z)^3-1}{3(x+y+z)}=xy+yz+zx$

$=>P=(x+y+z)^2-\frac{2(x+y+z)^3-2}{3(x+y+z)}=t^2+\frac{2t^3-2}{3t}$

Ta có: $P'(t)=\frac{2(t^3-1)}{2t^2}=0<=>t=1$

$=>P\geqslant 1$

Nhầm một chút nhỉ!

Cho x, y, z là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2}+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2}+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2}\geq 1$