Hoang Thi Thao Hien

Cho $x,y,z,a,b,c>0$. CMR:

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)$

$\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{xyz}\leq \sqrt[3]{(a+x)(b+y)(c+z)} \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{a}{x}.\frac{b}{y}.\frac{c}{z}} +1 \leq \sqrt[3]{(\frac{a}{x}+1)(\frac{b}{y}+1)(\frac{c}{z}+1)}$

Đặt: $m= \frac{a}{x}$, $n= \frac{b}{y}$, $p=\frac{c}{z}$ thì BĐT trở thành:

$\sqrt[3]{mnp}+1\leq \sqrt[3]{(m+1)(n+1)(p+1)}$

Biến đổi tương đương ta có: $3\sqrt[3]{mnp}+3\sqrt[3]{m^2n^2p^2}\leq m+n+p+m^2+n^2+p^2$. đúng theo BĐT Co-si cho 3 số dương

Bài 26: $\left\{\begin{matrix} x+y+xy=a^2+2a(1) & & \\ x^4+y^4=2a^4(2) & & \end{matrix}\right.$ ($a\ge 0$)

Từ (2), ta có:  $2a^4=x^4+y^4\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{2}\geq \frac{(x+y)^4}{8}$ $\Leftrightarrow x+y\leq 2a$.

Thay vào (1) thì: $a^2+2a=x+y+xy\leq 2a+xy$ $\Leftrightarrow a^2 \leq xy \leq \frac{x^2+y^2}{2}$ $\Leftrightarrow 4a^4 \leq (x^2+y^2)^2 \leq 2(x^4+y^4)$ $\Leftrightarrow 2a^4 \leq x^4+y^4$. 

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=a$

Cho n số dương $x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n}$ có tổng bằng 1.

CMR: $\frac{x_{1}}{2-x_{1}}+\frac{x_{2}}{2-x_{2}}+...+\frac{x_{n}}{2-x_{n}}\geq \frac{n}{2n-1}$

Áp dụng Cauchy-Swartd:  $\frac{x_{1}}{2-x_{1}}+\frac{x_{2}}{2-x_{2}}+...+\frac{x_{n}}{2-x_{n}}$

=$\sum \frac{x_{1}^2}{2x_{1}-x_{1}^{2}}\geq \frac{(\sum x_{1})^2}{2\sum x_{1}-\sum x_1^2}\geq \frac{1}{2-\frac{1}{n}}=\frac{n}{2n-1}$ (đpcm)

$$(1)\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+(2-2\sqrt{3})x+4} +\sqrt{2x^2+(2+2\sqrt{3})x+4}+\sqrt{2x^2+4x+4}\leq 6$(1)$

$(1)\Leftrightarrow \sqrt{2x^2+(2-2\sqrt{3})x+4} +\sqrt{2x^2+(2+2\sqrt{3})x+4}+\sqrt{2x^2+4x+4}\leq 6$

Lấy $M(x;x), A(0;2); B(\sqrt{3}; -1); C(-\sqrt{3}; -1)$. Khi đó: 

$MA=\sqrt{2x^2+4x+4}, MC=\sqrt{2x^2+(2+2\sqrt{3})x+4}, MB= \sqrt{2x^2+(2-2\sqrt{3})x+4}$

Dễ thấy $\Delta ABC$ đều và O là điểm toricelli trong tam giác (coi qua cái này nếu bạn chưa biết http://t2tnh.forum7.biz/t46-topic). Khi đó: $MA+MB+MC\geq 3OA=3.2=6$. Nhưng theo giả thiết thì $MA+MB+MC\leq 6$ theo gt nên $M\equiv O$

Vậy nghiệm bất phương trình là $x=0$

4.$\left\{\begin{matrix}\dfrac{x^2}{(y+1)^2}+\dfrac{y^2}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{2}(1)\\3xy=x+y+1(1)\end{matrix}\right.$

Nhận xét: $(x+1)(y+1)=4xy$

Khi đó, pt(1) $\Leftrightarrow (\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1})^2-2\frac{xy}{(x+1)(y+1)}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow (\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1})^2=1\Leftrightarrow (\frac{x^2+y^2+x+y}{(x+1)(y+1)})^2=1$

TH1: $\frac{x^2+y^2+x+y}{(x+1)(y+1)}=1$$\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+x+y}{4xy}=1$. Đặt $S=x+y, P=xy$, thì t có hệ pt: $\left\{\begin{matrix} S^2-P+S=4P\\ 3P=S+1 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S^2+S-5P=0\\ S=3P-1 \end{matrix}\right.$, từ đó ta tìm đc $S, P$ rồi dùng Vi-ét đảo để tìm x, y

TH2: Làm tương tự