Hoang Thi Thao Hien

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

$x^{2}=y(y+1)(y+2)(y+3)$

pt $\Leftrightarrow$ $x^{2}=(y^{2}+3y)(y^{2}+3y+2)$

Đặt$z=y^{2}+3y+1$, khi đó pt trở thành: $z^{2}-x^{2}=1\Leftrightarrow (z-x)(z+x)=1$...

Đến đây tự làm nha

Giải hệ

$\left\{\begin{matrix}x^3(1-x)+y^3(1-y)=12xy+18 & & \\ \left | 3x-2y+10 \right |+\left | 2x-3y \right |=10 & & \end{matrix}\right.$

pt(1)$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}= x^{4}+y^{4}+12xy+18$

$\Leftrightarrow x^{3}+y^{3}= (x^{2}-y^{2})^{2}+2(xy+3)^{2}$(1)

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq 0\Leftrightarrow x^{3}\geq (-y)^{3}\Leftrightarrow x\geq -y\Leftrightarrow x+y\geq 0$

Áp dụng BĐT $\left | A \right |+\left | B \right |\geq \left | A+B \right |$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $AB\leq 0$, 

Ta có: $\left | 3x-2y+10 \right |+\left | 2x-3y \right |\geq \left | x+y+10 \right |\geq 10$

Do đó pt (2) $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (3x-2y+10)(2x-3y)\leq 0\\ x+y=0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2\leq x\leq 0\\ y=-x \end{matrix}\right.$

Thay $y= -x$ vào (1) ta đc: $\left2 ( -x^{2}+3 \right )^{2}$=0$\Leftrightarrow$ x=$\pm \sqrt{3}$, mà $-2\leq x\leq 0$ nên $x= -\sqrt{3}\Rightarrow y= \sqrt{3}$

Giúp mình bài này phân tích đa thức thành nhân tử này với:

 

 $12x^{2}-10x-18xy+y+6y^{2}-12$

 

Tks trước

$= \left ( 6x - 3y + 4 \right )\left ( 2x -2y -3 \right )$

kiểm tra lại giùm mình nha

Solution 

$\blacktriangleright$ Nhận xét khi cho 30 số tổng không đổi ta có thể cố định được 2 số mà có tổng không đổi. 

 

Cụ thể giả sử 2 số đó là  $x_{1}$ và $x_{2}$ $\Rightarrow x_{1}+x_{2}$ không đổi .

 

$\bigstar$ Lại có : $(x_1+x_2)^2-(x_1-x_2)^2=4x_1.x_2$

   

                                               Do vậy A sẽ max khi $(x_1-x_2)^2$ min.

 

                    Điều này tức là : 

 

$\cdot$Khi $x_1+x_2 \vdots 2$  để $A$ max  $x_29=x_30$ 

$\cdot$Khi $x_1+x_2$ không $\vdots 2$ để $A$ max thì $|x_1-x_2|=1$

 

$\bigstar$ Xét một cách tổng quát hơn thì 

 $A$ max $\Leftrightarrow$ Tồn tại một số nguyên $y$ nào đó trong 30 số $x,x_1,...,x_{30}$ mà có $y$ số bằng $n$ và phải có $30-y$ số bằng $n+1$

                  Tức là : 

$$y.n+(30-y)(n+1)=2003$$

$$\Leftrightarrow 30n+(30-y)=2003$$

$\Rightarrow 30n \leq 2003 \leq 30(n+1)$

$$\Leftrightarrow n=66$$ 

$\Rightarrow y=7$

 

$\bigstar$Vậy $A_{max}=66^7.66^{23}$

bạn có thể giải thích rõ hơn phần tổng quát đc k? Mình k hiểu tại sao lại tổng quát đc như vậy 

Cho 30 số nguyên dương $x_{1}, x_{2}, x_{3},...,x_{30}$ có tổng bằng 2003. Tìm giá trị lớn nhất của tích A=x$x_{1}x_{2}x_{3}..._{30}$

b, Giải PT sau

$4x^{2}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$

pt $\Leftrightarrow 4x^{2}-4x\sqrt{x+3}+x+3+2x-1+2\sqrt{2x-1}+1=0$

$\Leftrightarrow (2x-\sqrt{x+3})^{2}+(\sqrt{2x-1}-1)^{2}=0$...

Những bài như thế này bạn cứ rút x hặc y từ một phương trình, sau đó thay vào phương trình còn lại rồi biện luận giống phương trình Ax + B = 0(chắc là bạn biết làm chứ) là được mà

Mình muốn hỏi 2 điều là:
1. Đề thi HSG tại sao không có bài hình ?
2.Câu 2 hình như phải là $\sqrt{18}$ chứ không phải là $18$ ?
 

Bài 3:a)Cho $P=-3x^{2}+10x+3y^{2}-2y+2001$.Tính gt của P biết x>=0;y>=0;xy=1 và $\left | x+y \right |$ Min

         b)Cho x>=y>0.CMR:$\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\leqslant \frac{1}{8}.\frac{(x-y)^{2}}{y}$

a, Do x$\geq 0$, y$\geq 0$ nên $\begin{vmatrix} x+y \end{vmatrix}= x+y$ 

Áp dụng BĐT Cô-si: $x+y\geq 2\sqrt{xy}= 2\Rightarrow$ Min $x+y =2$ $\Rightarrow$ $x+y=2$ mà $xy=1$ nên $x=1, y=1$. Thay vào là đc

b, $\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\leqslant \frac{1}{8}.\frac{(x-y)^{2}}{y}$ $\Leftrightarrow$ $\frac{\left ( \sqrt{x} - \sqrt{y}\right )^{2}}{2}\leqslant \frac{\left ( \sqrt{x} - \sqrt{y} \right )^{2}\left ( \sqrt{x} + \sqrt{y} \right )^{2}}{8y}$$\Leftrightarrow 8y\leqslant 2\left ( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right )^{2}$$\Leftrightarrow x^{2}+2\sqrt{xy}-3y\geq 0\Leftrightarrow \left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )\left ( \sqrt{x}+3\sqrt{y} \right )\geq 0$, điều này luôn đúng vs $x\geq y\geq 0$, dpcm

Bài 1:Chứng minh rằng:

a)$A=1+9^{2010}+77^{2010}+1977^{2010}$ không thể là số chính phương

b)Cho a,b là 2 số tự nhiên ,nếu $a^{2}+b^{2}\vdots 3$ thì a và b chia hết cho 3

a, Ta thấy: $9\vdots 3\Rightarrow 9^{2010}\vdots 3$$\Rightarrow 9^{2010}\equiv 0\left ( mod 3 \right )$

$77\equiv -1\left ( mod 3 \right )$$\Rightarrow 77^{2010}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$

$1977\vdots 3\Rightarrow 1977^{2010}\vdots 3\Rightarrow 1977^{2010}\equiv 0\left ( mod 3 \right )$

$\Rightarrow A\equiv 2\left ( mod 3 \right )$

Mà không có số chính phương nào có dạng $3k + 2$ nên $A$ không thể là số chính phương

b,Nếu $a\ddots 3\Rightarrow b\ddots 3\Rightarrow a^{2}\equiv 1\left ( mod 3 \right )$

Chứng minh tương tự thì $b^{2}\equiv 1\left ( mod 3 \right )\Rightarrow a^{2}+b^{2}\equiv 2\left ( mod 3 \right )$, trái vs giả thiết $\Rightarrow$ Dpcm

Câu 2 phải sửa là thành :$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{z} & \\ \frac{1}{xy}=\frac{1}{2z^2}+2 & \end{matrix}\right.$$

Gợi ý : 

khi đó ta đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ hệ đã cho 

$<=>\left\{\begin{matrix} a+b+c=2 & \\ 2ab-c^2=4 & \end{matrix}\right.$

=>$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=2ab-c^2<=>(a+c)^2+(b+c)^2=0$

......................

Cách 2 :

Hệ đã cho trở thành:

$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{z} & \\ \frac{1}{xy}=\frac{1}{2z^2}+2 & \end{matrix}\right.$$

$\Rightarrow$ $\frac{1}{x}$ và $\frac{1}{y}$ là 2 nghiệm của phương trình $X^{2} - \left ( 2 - \frac{1}{z} \right )X + \left ( 2 +\frac{1}{2z^{2}} \right )=0$

$\Rightarrow \Delta =\left ( 2-\frac{1}{z} \right )^{2}-4\left ( 2+\frac{1}{2z^{2}} \right )\geq 0$

$\Rightarrow \left ( \frac{1}{z}+2 \right )^{2}\leq 0 \Rightarrow z=-\frac{1}{2}$

...

1)C/mR: Nếu các số thực $ x,y,z$ thõa mãn điều kiện $x+y+z=2$ và $xy+xz+yz=1$ thì :

$0\leq x,y,z\leq \frac{4}{3}$

2) Giải hệ phương trình $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2$ và $\frac{2}{xy}+\frac{1}{z^2}=4$

------------------------------------------------------

P/s: Em xin lỗi diễn đàn, em không biết viết công thức ở bài 2.

Hình như phương trình 2 phải là  $\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4$ chứ, nhờ bạn xem lại giùm