Đến nội dung

Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

Đăng ký: 24-10-2013
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#695699 $x^{2}+\frac{4x^{2}}{(x+2)^{2}}=\frac{13}{9}$

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 28-10-2017 - 13:15

 

b) $\frac{1}{(x+1)^{2}} + \frac{1}{(x+2)^{2}} = \frac{5}{4}$

ĐK: $x\ne -1; x\ne -2$

Đặt $t=x+\dfrac{3}{2}$, $t\ne \pm \dfrac{1}{2}$

Pt trở thành:

$\dfrac{1}{\left ( t-\dfrac{1}{2} \right )^2}+\dfrac{1}{\left ( t+\dfrac{1}{2} \right )^2}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow \frac{2t^2+\dfrac{1}{2}}{\left ( t^2-\dfrac{1}{4} \right )^2}=\dfrac{5}{4}$
$\Leftrightarrow 2a+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{4}\left ( a^2-\dfrac{1}{2}a+\dfrac{1}{16} \right )$ với $a=t^2, a\ge 0, a\ne \dfrac{1}{4}$
$\Leftrightarrow a=\dfrac{9}{4}$
$\Rightarrow t=\pm \dfrac{3}{2}$ (t/m)
 
$\boxed{x=0~ (v)~ x=-3}$



#689111 Tính $4x+y$ để $A$ lớn nhất

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-07-2017 - 20:43

Cho $A=x^2+2xy+2y^2-2x+4y+2$. A đạt giá trị nhỏ nhất khi $4x+y$ bằng bao nhiêu ???

Bài này phải là nhỏ nhất em nhé. $4x+y=13$ đúng rồi.

$$A=(x+y-1)^{2}+(y+3)^{2}-8\ge -8.$$

Dấu bằng xảy ra khi $y=-3$ và $x=4$.




#668458 Chứng minh rằng $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 15-01-2017 - 20:17

Cho tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$ và có ba góc đều nhọn. Gọi $D$, $E$, $F$ là chân đường cao đỉnh $A$, $B$, $C$ lên các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ tương ứng. Giả sử các đường tròn ngoại tiếp $(AOD)$, $(BOE)$, $(COF)$ cắt các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ kéo dài tương ứng tại $I$, $J$, $K$. Chứng minh rằng $I$, $J$, $K$ thẳng hàng.

 

Capture.PNG




#665224 Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 20-12-2016 - 12:33

 

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:

$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2  \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2  \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2}  \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$
 
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.

chỉ e cách tư duy ra đoạn này được không a 

BĐT Bunhia em ạ.

$$\left ( x^2+y^2+z^2+t^2 \right )\left [ \left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2 \right ]\ge \left [ x\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )+\dfrac{by\sqrt{3}}{2}+az+tc \right ]^2$$
Dấu bằng xảy ra khi: $\dfrac{a+\dfrac{b}{2}}{x}=\dfrac{\dfrac{b\sqrt{3}}{2}}{y}=\dfrac{a}{z}=\dfrac{c}{t}$
Coi $a=b=c=1$ thì ta có kết quả trên.



#664652 Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 14-12-2016 - 21:36

 

 

Câu 1 ý, 3 cực trị và gốc tọa độ sao tạo thành 4 đỉnh của hình chữ nhật được nhỉ?

Tại sao không nhỉ?

$B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$

$A$ là cực trị nằm trên trục $Oy$

và $O$ là gốc tọa độ




#664244 Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:22

 

 

Câu 7. (3 điểm)
Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

ĐK: $y\ge 0$

$$pt(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^2+y+1)=0\Leftrightarrow x=y\ge 0$$

Thay vào $pt(2)$ ta có:

$$\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}=a$$

Xét hàm số $f(x)=\sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{x}, ~x\ge 0$

$$\begin{align*} f'(x)=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{(x^2+1)^3}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}&=\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{x^6+3x^4+3x^2+1}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &<\dfrac{1}{4}\sqrt[4]{\dfrac{1}{3x^2}}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\\ &=\left ( \dfrac{1}{4\sqrt[4]{3}}-\dfrac{1}{2} \right )\dfrac{1}{\sqrt{x}}<0 \end{align*}$$

$\Rightarrow f(x)$ nghịch biến trên $[0,+ \infty)$

$f(0)=1$, $\lim_{x\rightarrow + \infty} f(x)=0$
Vậy $0<a\le 1$



#664243 Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:15

 

 

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

 

---Hết---

 

Áp dụng liên tiếp $AM-GM$ và $C-S$ ta có:
$$\begin{align*} \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}&\ge \dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+c^2+\left (a^2+b^2  \right )}}\\ &=\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+ab+1}}\\ &=\sqrt{a^2+ab+1}=\sqrt{a^2+ab+a^2+b^2+c^2}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\sqrt{\left ( \dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}+1+1 \right )\left [\left ( a+\dfrac{b}{2} \right )^2+\dfrac{3b^2}{4}+a^2+c^2  \right ]}\\ &\ge \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left [ \dfrac{3}{2}\left (a+\dfrac{b}{2}  \right )+\dfrac{3}{4}b+a+c \right ]\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left ( \dfrac{5}{2}a+\dfrac{3}{2}b+c \right ) \end{align*}$$
 
Chứng minh tương tự, cộng lại ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.



#664242 Đề thi HSG lớp 12 môn toán tỉnh Thái Bình 2016-2017

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 09-12-2016 - 15:05

Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thái Bình 2016-2017

Câu 1. (4 điểm)

1. Cho hàm số $y=\dfrac{mx^3}{3}+(m-1)x^2+(4-3m)x+9$ có đồ thị là $(C_m)$, $m$ là tham số. Tìm $m$ để trên $(C_m)$ có duy nhất một điểm với hoành độ âm sao cho tiếp tuyến của $(C_m)$ tại điểm đó vuông góc với đường thẳng $(d): x+2y=0$.

2. Cho hàm số $y=\dfrac{x^4}{8}-(2k-1)x^2+k+3$ có đồ thị là $(C_k)$, $k$ là tham số. Tìm $k$ để $(C_k)$ có ba điểm cực trị phân biệt và ba điểm này cùng với gốc tọa độ là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.

 

Câu 2. (2 điểm)

Giải phương trình

$$\dfrac{4\cos x\cos ^2 \left (x+\dfrac{\pi}{2} \right)-\sin \left (x+\dfrac{\pi}{6}\right )}{2\cos 2x-1}=0.$$

Câu 3. (2 điểm)
Lớp $12A$ có $7$ học sinh giỏi gồm $5$ nam và $2$ nữ, lớp $12B$ có $10$ học sinh giỏi gồm $6$ nam và $4$ nữ. Chọn ngẫu nhiên mỗi lớp $2$ học sinh giỏi dự đại hội thi đua. Tính xác suất để trong $4$ học sinh được chọn có $2$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ.

Câu 4. (2 điểm)
Tính đạo hàm của hàm số sau tại $x=0$

$$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{e^{\cos 2016x-\cos 2017x}-1}{x}~ \text{khi $x\ne 0$}  &  & \\ 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\text{khi $x= 0$}  &  &  \end{matrix}\right.$$
 
Câu 5. (2 điểm)
Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ với đỉnh $C(4;3)$. Biết trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$ là $(d_1): x+2y-5=0$ và đường cao kẻ từ đỉnh $B$ là $(d_2): 4x+13y-10=0$. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh $AB$.
 
Câu 6. (3 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. $AB=a>0,AD=b>0$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=2a$.
1. Tính khoảng cách từ $C$ đến mặt phẳng $(SBD)$.
2. Gọi $M$ là điểm thuộc cạnh $SA$ sao cho $AM=x(0<x<2a)$. Xác định $x$ để mặt phẳng $(MBC)$ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
 
Câu 7. (3 điểm)
Tìm $a$ để hệ phương trình sau có nghiệm:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-x^2y+(y+1)x-y^2-y=0  &  & \\ \sqrt[4]{x^2+1}-\sqrt{y}=a  &  &  \end{matrix}\right.$$

 

Câu 8. (2 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. Chứng minh:

$$\dfrac{a^2+ab+1}{\sqrt{a^2+3ab+c^2}}+\dfrac{b^2+bc+1}{\sqrt{b^2+3bc+a^2}}+\dfrac{c^2+ca+1}{\sqrt{c^2+3ca+b^2}}\ge \sqrt{5}(a+b+c).$$

 

---Hết---




#663572 $y=\sin^2 x+\cot^2 \dfrac{x}{2}+4...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 01-12-2016 - 20:32

Tìm cực trị của hàm số $y=\sin^2 x+\cot^2 \dfrac{x}{2}+4\cos ^2 \dfrac{x}{2}-4\sin x-4\cot \dfrac{x}{2}$

($0<x<\pi$)

Đặt $\cot \dfrac{x}{2}=t$
$y=\dfrac{4t^2}{(t^2+1)^2}+t^2+\dfrac{4t^2}{1+t^2}-\dfrac{8t}{1+t^2}-4t$
$=\left ( \dfrac{2t}{1+t^2}-1 \right )^2+\left ( \sqrt{t^2+1}-\dfrac{2t}{\sqrt{t^2+1}} \right )^2-\dfrac{4t}{t^2+1}-2\ge \dfrac{-4t}{t^2+1}-2\ge -4$
 
Cách 2:
$y=\left ( \sin x+\cot \dfrac{x}{2} \right )^2-4\left ( \sin x+\cot \dfrac{x}{2} \right )=t^2-4t$
Xét hàm tìm điều kiện của $t$ rồi xét hàm tìm cực trị.



#662244 $\dfrac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 17-11-2016 - 19:30

Giải bpt:
$$\dfrac{\sqrt{x+24}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+24}-\sqrt{x}}\le \dfrac{27(12+x-\sqrt{x^2+24x})}{8(12+x+\sqrt{x^2+24x})}$$

$$\Leftrightarrow 8\left ( \sqrt{x+24}+\sqrt{x} \right )^3\le 27\left ( \sqrt{x+24}-\sqrt{x} \right )^3$$
$$\Leftrightarrow 2\left ( \sqrt{x+24}+\sqrt{x} \right )\le 3\left ( \sqrt{x+24}-\sqrt{x} \right )$$



#662241 $...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 17-11-2016 - 19:18

Cho $a_1;a_2;...;a_{2013}$ với $a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2=1$.Cmr:
$$\frac{a_1}{1+a_1^2}+\frac{a_2}{1+a_1^2+a_2^2}+...+\frac{a_{2013}}{1+a_1^2+a_2^2+...+a_{2013}^2}< \frac{\sqrt{4026}}{2}$$

$$VT\le \sqrt{2013\sum \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}}$$

Ta có đánh giá sau

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{a_1^2}{(1+a_1^2)^2}\le \dfrac{a_1^2}{1+a_1^2}=1-\dfrac{1}{1+a_1^2}  &  & \\ \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)^2}\le \dfrac{a_2^2}{(1+a_1^2+a_2^2)(1+a_1^2)}=\dfrac{1}{1+a_1^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+a_2^2}  &  & \\ ... \\ \dfrac{a_{2013}^2}{(1+a_1^2+...+a_{2013}^2)^2}\le \dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2012}^2}-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \end{matrix}\right.$$

Cộng theo vế

$$VT\le \sqrt{2013\left ( 1-\dfrac{1}{1+a_1^2+...+a_{2013}^2} \right )}=\sqrt{2013\left (1-\dfrac{1}{2}  \right )}=VP$$

Dấu bằng không xảy ra.




#659934 Cho a;b;c>0 ; a+b+c=3. Tìm GTNN của M=$\frac{1}...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-10-2016 - 10:44

$\dfrac{1}{a^2+1}=1-\dfrac{a^2}{a^2+1}\ge 1-\dfrac{a^2}{2a}=1-\dfrac{a}{2}$

Tương tự

$M\ge 3-\dfrac{a+b+c}{2}=\dfrac{3}{2}$




#659930 $P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 30-10-2016 - 10:29

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$. Tìm Min

$$P=\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^y+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{8^z+1}}$$

$\dfrac{1}{\sqrt{8^x+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{(2^x+1)(4^x-2^x+1)}}\ge \dfrac{2}{4^x+2}\ge \dfrac{2}{2^{x^2+1}+2}=\dfrac{1}{2^{x^2}+1}$

Từ $GT\Rightarrow x^2+y^2+z^2\le 3$

Đặt $\left ( 2^{x^2},2^{y^2},2^{z^2} \right )\rightarrow \left (2a,2b,2c  \right )\Rightarrow 8abc=2^{x^2+y^2+z^2}\le 8\Leftrightarrow abc\le 1$

$P\ge \sum \dfrac{1}{2a+1}=\sum \dfrac{\dfrac{1}{a}}{2+\dfrac{1}{a}}\ge \dfrac{\left ( \sum \sqrt{\dfrac{1}{a}} \right )^2}{\sum \dfrac{1}{a}+6}=\dfrac{\sum \dfrac{1}{a}+2.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}}{\sum \dfrac{1}{a}+6}\ge 1$

Dấu bằng khi $x=y=z=1$




#659462 $\left\{\begin{matrix}\dfrac{2^...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 26-10-2016 - 21:35

Tính góc tam giác $ABC$ biết

$\left\{\begin{matrix}\dfrac{2^{\cos A}}{2^{\cos B}}+\cos A=\cos B+1  &  & \\ \dfrac{2^{\cos B}}{2^{\cos C}}+\cos B=\cos C+1  &  &  \end{matrix}\right.$

Gợi ý:

Xét hàm $f(t)=2^t+t-1$ đồng biến trên $R$




#658286 $(T): (x+1)^2+\left (y-\dfrac{11}{2}...

Gửi bởi Viet Hoang 99 trong 18-10-2016 - 14:48

Cho hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ $(C)$ và điểm $I\left (3;\dfrac{3}{2}\right )$. Tìm $m$ để đường thẳng $d:y=-x+m$ cắt $(C)$ tại 2 điểm phân biệt $M,N$ sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác $IMN$ tiếp xúc ngoài với đường tròn $(T): (x+1)^2+\left (y-\dfrac{11}{2} \right)^2=4$