Đến nội dung

SSA

SSA

Đăng ký: 25-10-2013
Offline Đăng nhập: 15-03-2014 - 23:08
-----

#475245 [VMO 2014] Ngày 2 - Bài 6 - Đại số

Gửi bởi SSA trong 04-01-2014 - 15:12

Chuẩn hóa $a+b+c=3$

 

Dễ cm $x^4+y^4 \geq \frac{(x+y)^3}{4}$

 

$\sum_\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} = \sum_y.\frac{x^3y^3z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3} \leq \sum_4y.\frac{x^3y^3z^3}{[(x+y)(xy+z^2)]^3} = \sum_4y.[\frac{xyz}{x^2y+xz^2+xy^2+yz^2}]^3 \leq \sum_4y.[\frac{xyz}{4xyz}]^3 $  (ở đây dùng AM-GM dưới mẫu)  $=\sum_\frac{y}{16}=\frac{3}{16}$

 

Dấu $"=" \Leftrightarrow x=y=z=1$


  • LNH yêu thích


#467848 Số thứ tự của thí sinh

Gửi bởi SSA trong 30-11-2013 - 12:48

Cảm ơn bạn. Nhưng bài này mình có ý tưởng giống bài số 6 VMO 1978. Bạn thấy thế nào ?


  • LNH yêu thích


#467094 Số thứ tự của thí sinh

Gửi bởi SSA trong 27-11-2013 - 16:33

Trong một cuộc thi có các thí sinh thuộc 6 trường khác nhau. Danh sách các thí sinh gồm 2010  người đánh số thứ tự từ 1,2,..,2010. Chứng minh có ít nhất 1 thí sinh mà số thứ tự bằng tổng các số thứ tự của 2 thí sinh cùng trường với thí sinh đó hoặc gấp 2 lần số thứ tự của 1 thí sinh cùng trường với thí sinh đó.


  • LNH yêu thích


#465939 Bất biến

Gửi bởi SSA trong 22-11-2013 - 15:14

Mỗi đỉnh của một hình vuông đặt 1 hòn bi. Thực hiện số bi thay đổi theo quy luật sau : ta có thể lấy đi một số bi ở 1 đỉnh và thêm vào 2 đỉnh kề bên số bi gấp đôi. Hỏi có thể nhận được $2013, 2012, 2014, 2013$ viên bi tại các đỉnh liên tiếp của hình vuông hay không ?