Hoang Tung 126

Hình như anh Đăng cũng quê Thái Bình thì phải?

Năm nay thi IMO có 3 người quê gốc Thái Bình ,công nhận Thái Bình bá thật ,chiếm 1 nửa luôn

Thấy mặt anh Hoàn trên báo THTT số 454 kìa

Ừ ,vì anh ấy đã tham dự IMo năm ngoái rùi mà nên đương nhiên là sẽ có

  Bài toán : Tìm tất cả các số nguyên dương $x,y,z$ biết chúng lập thành 1 cấp số cộng và thỏa mãn :

    $\frac{x^2(x+y)(x+z)}{(x-y)(x-z)}+\frac{y^2(y+z)(y+x)}{(y-z)(y-x)}+\frac{z^2(z+x)(z+y)}{(z-x)(z-y)}=2160+(x+y-z)^2$

p/s: Lâu chưa post số học ,post 1 bài cho vui 

    Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=\frac{1-16abc}{4}$. Tìm GTNN của biểu thức :

                    $A=\frac{a+b+c+4abc}{1+4(ab+bc+ac)}$

   Bài toán : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R$ thỏa mãn với mọi số thực $x,y$ :

                       $f(x^2+f(y))=\frac{f^2(x)}{2}+4y$

    Bài toán : Giải hệ phương trình :

                   $\left\{\begin{matrix} x+6\sqrt{xy}-y=6 & \\ x+\frac{6(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2(x^2+y^2)}=3 & \end{matrix}\right.$

P/s: Lâu lâu chưa post hệ ,post 1 bài cho vui (dù nó đơn giản )

    Bài toán : Cho tam giác nhọn $ABC$ có 3 góc nhọn . Tìm Giá Trị Nhỏ Nhất của biểu thức :

            $A=\frac{cosA+cosB+cosC+cosAcosBcosC}{1+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA}$

Cho ba số $a,b,c$ không âm, tìm GTNN của

$P=\frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{bc}}{a+3\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ca}}{b+3\sqrt{ca}}$

Theo Bunhiacopxki và Cosi ta có :

  $\sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geq \sum \frac{c}{c+3.\frac{a+b}{2}}=2\sum \frac{c}{2c+3a+3b}=2\sum \frac{c^2}{2c^2+3ac+3bc}\geq 2.\frac{(\sum c)^2}{2\sum c^2+6\sum ab}=\frac{2(\sum c)^2}{2(\sum c)^2+2\sum ab}\geq \frac{2(\sum c)^2}{2(\sum c)^2+\frac{2(\sum c)^2}{3}}=\frac{6(\sum c)^2}{8(\sum c)^2}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}= > \sum \frac{c}{c+3\sqrt{ab}}\geq \frac{3}{4}= > \sum (1-\frac{c}{c+3\sqrt{ab}})\leq \frac{9}{4}= > P=\sum \frac{\sqrt{ab}}{c+3\sqrt{ab}}\leq \frac{3}{4}$

  Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$. CMR :

           $\frac{a+b}{1-ab}+\frac{b+c}{1-bc}+\frac{c+a}{1-ac}\leq 3(a+b+c)$

   Bài toán : Cho các số thực dương $a,b,c> 0$ . CMR:

     $(a^{2015}-a^{2013}+3)(b^{2015}-b^{2013}+3)(c^{2015}-c^{2013}+3)\geq 9(ab+bc+ac)$

   Bài toán : Tìm tất cả các hàm $f:R\rightarrow R, g:R\rightarrow R$ với mọi số thực $x,y$ thỏa mãn :

     $\left\{\begin{matrix} f(x)-2g(x)=g(y)+4y & \\ f(x)g(x)\leq 2015x^2 & \end{matrix}\right.$

Anh Huy hoàng được vào cả trận chung két Olympia nữa 

Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!   

Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa

 Dạo này TOPIC ít người tham gia vậy ,vẫn những bài toán từ hôm trước

Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán