mathlike8

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                        KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

        THANH HÓA                                                                      Năm học 2013-2014

                                                                                                 LỚP 12 THPT

                                                                                                Ngày thi 20/03/2014

                                                                                         Thời gian làm bài:180 phút

Câu I:Cho hàm số y=$2x^{3}-3mx^{2}+(m-1)x+1$ (1) với đồ thị $(C_{m})$ (m$\in$R)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m=1.

2)Tìm m để đường thẳng y=2x+1 cắt đồ thị $(C_{m})$ tại 3 điểm phân biệt A,B,C sao cho C(0;1) nằm giữa A và B sao cho đoạn thẳng AB có độ dài bằng $\sqrt{55}$.

Câu II:

1. Giải phương trình        $\frac{(cosx+1)(sin2x-sinx-cosx-2)}{sinx(1-2cosx)}=1$

2. Giải hệ phương trình:

                 $\left\{\begin{matrix}5+16.4^{x^2-2y}=(5+16^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2} & \\ x^2+17x+10y+17=2(x^2+4)\sqrt{4y+11} & \end{matrix}\right.$

Câu III:

1. Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức:

  P=$\frac{8a+3b+4(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt[3]{abc})}{1+(a+b+c)^2}$

2.Tìm các giá trị thực của m để hệ bất pt $\left\{\begin{matrix}log_{2}(x+y)\leq 0 & \\ x+y+\sqrt{2xy+m}\geq 1 & \end{matrix}\right.$ có nghiệm thực duy nhất.

Câu IV:

1. Tìm tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt 3 chữ số khác nhau.

2. Trong mp tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M,N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. Tìm tọa độ các đỉnh của hình cuông ABCD biết N($-1;-\frac{5}{2}$) , H$(-1;0)$ và điểm D nằm trên dường thẳng (d):x-y-4=0

Câu V:

1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a, AD=b, SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA=2a. Gọi M là điểm nằm trên SA sao cho AM=x (0<x<2a). Tính diện tích thiết diện hình chóp cắt bởi mp(MBC). Tìm x theo a để mp(MBC) chia khối chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x+y-z+2=0 và hai điểm A(3;4;1), B(7;-4;-3). Tìm điểm M trên (P) sao cho tam giác ABM vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất.

1)

$1\Leftrightarrow 3\sqrt{2(x^{2}-3x+2)(x+3)}=2((x^{2}-3x+2)+(x+3))$

Đặt $\sqrt{2(x^{2}-3x+2)}=a,\ \sqrt{x+3}=b$ ta được pt: $3ab=a^{2}+2b^{2}$, chia cả 2 vế của pt này cho $b^{2}$ ta tính được tỉ số $\frac{a}{b}$, sau đó tìm ra x

Chia cả 2 phương trình cho $y^{2}$ ta được:

$\left\{\begin{matrix} 1/y^{2}+x^{2}=5\left ( \frac{x}{y} \right )^{2} & \\ 1/y+x=6\left ( \frac{x}{y} \right )^{2} & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix}\left ( x+\frac{1}{y} \right )^{2}-2\frac{x}{y}-5\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}=0 & \\ \frac{1}{y}+x-6\left ( \frac{x}{y} \right )^{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Sau đó đặt $\left\{\begin{matrix} x+\frac{1}{y}=a & \\ \frac{x}{y}=b & \end{matrix}\right.$ ta được hệ pt:

 $\left\{\begin{matrix}a^{2}-2b-5b^{2}=0 \ (1) & \\ a-6b=0 \ (2) & \end{matrix}\right.$

Thế a từ pt 2 thay vào pt 1, giải ra được b=0 hoặc b=1/2. Từ đó tìm ra a, x, y.

Đặt P(x)=$ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

Khi chia P(x) cho $x^{2}-5x+4$ ta sẽ được biểu thức có dạng Q(x).($x^{2}-5x+4$)+$\frac{x}{3}-\frac{2}{5}$. Thay x=1 và x=4 ta được:

 $a+b+c+d=\frac{-1}{15}$

 $64a+16b+4c+d=\frac{14}{15}$

Tương tự khi chia cho $x^{2}-5x+6$, thay x=2, x=3 vào ta được:

 $8a+4b+2c+d=\frac{16}{15}$

và $27a+9b+3c+d=\frac{19}{15}$.

Từ 4 phương trình trên tìm ra a,b,c,d.

Cho $a_{1}=0, n\epsilon N^{*}.\\ Biết \ a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{(n+2)(n+3)}(a_{n}+1).\\ Tính \ a_{2010}$