yeutoan2604

Cho a,b,c >0 thỏa a+b+c=6. Tìm Min $A=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{b+c}}+\sqrt{b^{2}+\frac{1}{a+c}}+\sqrt{c^{2}+\frac{1}{a+b}}$

Áp dụng BĐT Mincopski ta có $A\geq \sqrt{(a+b+c)^{2}+(\sqrt{\frac{1}{a+b}}+\sqrt{\frac{1}{b+c}}+\sqrt{\frac{1}{c+a}})^{2}}\geq \sqrt{36+(3\sqrt[6]{\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}})^{2}}= \sqrt{36+\frac{9}{\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}}}\geq \sqrt{36+\frac{9}{\frac{2(a+b+c)}{3}}}=\sqrt{36+\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}$

Min A=$\frac{3\sqrt{17}}{2}\Leftrightarrow a=b=c=2$

 

Ta có:

$A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{2}{y^2}+y=\left(\frac{x}{4}+\frac{1}{x} \right)+\left(\frac{x}{2}+\frac{y}{2} \right)+\left(\frac{2}{y^2}+\frac{y}{4}+\frac{y}{4} \right)$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{x}{4}+\frac{1}{x} \geq 2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}=1$

$\frac{2}{y^2}+ \frac{y}{4}+\frac{y}{4}\geq 3\sqrt[3]{\frac{2}{y^2}.\frac{y}{4}.\frac{y}{4}}=\frac{3}{2}$

Mà $x+y \ge 4$ nên ta suy ra:

$A\geq 1+2+\frac{3}{2}\\\Leftrightarrow A\geq \frac{9}{2}$

Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}\frac{x}{4}=\frac{1}{x}\\x+y=4\\\frac{2}{y^2}=\frac{y}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x=2\\y=2 \end{matrix}\right.$

 

Vậy $Min_A=\frac{9}{2}$

 

x,y chưa chắc đã dương mà sao dùng AM-GM được

Cho $\left\{\begin{matrix} x>0;y>0;z>0 & \\ xy+yz+zx=\frac{9}{4} & \end{matrix}\right.$

Tìm Min $A=x^{2}+14y^{2}+10z^{2}-4\sqrt{2y}$

1) Cho phương trình $(x^{2}-1)(x+3)(x+5)=m$ (1)

Tìm m sao cho phương trình có 4 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\frac{1}{x_{4}}=-1$

2) Giải hpt $\left\{\begin{matrix} 2^{x}-2^{y} & =(y-x)(xy+2)\\ x^{2}+y^{2} & =2 \end{matrix}\right.$

Bài 1: Cho phương trình $x^{2}-4mx+m^{2}-2m+1=0$ (m là tham số)

            a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau

            b) Tìm sao cho $\left | \sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{2}} \right |=1$

Bài 2:   1) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+2y+1=2z(x+2) & \\ 3y^{2}+2z+1=2x(y+2) & \\ 3z^{2}+2x+1=2y(z+2) & \end{matrix}\right.$

            2) Cho $x,y\geq 0$ và $x^{3}+y^{3}\leq x-y$

            a) Chứng minh rằng $y\leq x\leq 1$                           b) Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}\leq 1$

Bài 3: Cho $M=a^{2}+3a+1$, với a là số nguyên dương

            a) Chứng minh rằng mọi ước số của M đều là số lẻ

            b) Tìm a sao cho M chia hết cho 5. Với những giá trị nào của a thì M là lũy thừa của 5

Bài 4: Cho tam giác ABC có $\angle A=60^{0}$. Đường tròn (I) nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qau K song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại M, N

            a) Chứng minh rằng IFMK và IMAN là các tứ giác nội tiếp

            b) Gọi J là trung điểm BC. Chứng minh rằng A, K, J thẳng hàng

            c) Gọi r là bán kính đường tròn (I) và S là diện tích IEAF. Tính S theo r và chứng minh $4S_{IMN}\geq S$

Bài 5: Trong một kỳ thi, 60 học sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: Với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất m ột bài toán mà cả  hai thí sinh đề giải được. Chứng minh rằng:

a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đề  không giải được thì phải có m ột bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.

b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh đều giải được

Bài 2: 1) $\left\{\begin{matrix} 3x^{2}+2y+1-2xz-4 &=0 \\ 3y^{2}+2z+1-2xy-4 &=0 \\ 3z^{2}+2x+1-2yz-4 & =0 \end{matrix}\right.$

Cộng vế cả 3 pt ta có $(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(z-x)^{2}+(x-1)^{2}+(y-1)^{2}+(z-1)^{2}=0\Rightarrow x=y=z=1$

2) a)Ta có $x,y\geq 0\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq 0\Rightarrow x\geq y(1)$

Lại có $x-y\geq x^{3}+y^{3}\Leftrightarrow x^{3}-x+y^{3}+y\leq 0$

Mà $y\geq 0\Rightarrow y^{3}+y\geq 0$$\Rightarrow x^{3}-x\leq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\leq & -1\\ 0\leq x\leq 1 & \end{bmatrix}$

TH1 loại do $x\geq 0$$\Rightarrow 0\leq x\leq 1(2)$

từ (1) và (2) suy ra đpcm

b) Ta có $0\leq x,y\leq 1\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}$ (1)

Lại có $x,y\geq 0\Rightarrow x-y\geq x^{3}+y^{3}\geq x^{3}-y^{3}\Rightarrow x-y\geq x^{3}-y^{3}\Leftrightarrow 1\geq x^{2}+xy+y^{2}\geq x^{2}+y^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm

Giải hpt nghiệm nguyên $\left\{\begin{matrix} 2x+3y & =8\\ 2y+3z & =1 \end{matrix}\right.$

Bất đẳng thức

1, phương pháp biến đổi tương đương

Ở dạng này có một số bài rất hay ,các bạn kham khảo

Bài 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn a+b+c=1

Chứng minh:b+c $\geq$ 16 abc

Bài 2:Cho các số thực x, y thỏa mãn x khác y và x;y khác 0

$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}\geq \frac{4}{xy}$

    lần đầu chỉ 2 bài đã mong các bạn ủng hộ (giải bằng cách nào cũng được nhưng tốt nhất là giải bằng phương pháp biến đổi tương đương) 

Bài 1: Ta có $\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\geq \frac{4}{a(b+c)}\geq \frac{16}{(a+b+c)^{2}}=16\Rightarrow b+c\geq 16abc$

Cho các số thực $a,b$ thỏa mãn $ a+b \neq 0$.

CMR:

$a^2+b^2+\frac{(ab+1)^2}{(a+b)^2}\geq 2$

BĐT $\Leftrightarrow (a+b-\frac{ab+1}{a+b})^{2}\geq 0$

1) Chứng minh rằng: Nếu đa thức $P(x)=x^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+1$ có nghiệm thì $\mid 2b\mid +\mid c\mid \geq 2$

2) Cho x,y là các số thực thỏa mãn $4x^{2}+y^{2}=1$ Tìm Min và Max của biểu thức $A=\frac{2x+3y}{2x+y+2}$

Giải các hệ phương trình sau :

a) $\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^{2}-y} +\frac{5y}{x+y^{2}}& =4\\ 5x+y+\frac{x^{2}-5y^{2}}{xy} & =5 \end{matrix}\right.$

b) $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x} &=y-\frac{1}{y} \\ 2y & =x^{3}+1 \end{matrix}\right.$

c) $\left\{\begin{matrix} 2x+\frac{1}{x+y} & =1\\ 8(x^{2}+y^{2})+\frac{5}{(x+y)^{2}}+4xy & =13 \end{matrix}\right.$

d) $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x} +\frac{1}{2y}& =(3x^{2}+y^{2})(x^{2}+3y^{2})\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{2y} & =2(y^{4}-x^{4}) \end{matrix}\right.$

e) $\left\{\begin{matrix} x^{3} +3xy^{2}& =140\\ 5x^{2}+2xy+5y^{2} & =10y+26x \end{matrix}\right.$

f) $\left\{\begin{matrix} 8x^{3}-y^{3} &=63 \\ 2x^{2}+y^{2}-x+2y & =9 \end{matrix}\right.$

Có một bài này chiều nay vừa thi thử xong câu cuối đề thi cấp 3

Cho x,y,z >0 và xyz=1 Tìm $MinP=\sum \frac{x^{4}(y^{2}+z^{2})}{y^{3}+2z^{3}}$

Cho $a, b, c>0$ thỏa mãn $abc=1$

Chứng minh rằng $\sum {\frac{1}{{ab + a + 2}}}  \le \frac{3}{4}$

Bài 4. Ta chú ý tới bài toán quen thuộc $a,b,c>0$ thỏa mãn $abc=1$ thì $\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}=1$

Chứng minh: $\dfrac{1}{ab+a+1}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{1}{ca+c+1}=\dfrac{abc}{ab+a+abc}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{bca+bc+b}$

$=\dfrac{bc}{b+1+bc}+\dfrac{1}{bc+b+1}+\dfrac{b}{1+bc+1}=1$(đpcm)

Trở lại bài toán, ta có $\sum \dfrac{1}{ab+a+2}=\sum \dfrac{3}{3(ab+a+1)+3}=\sum \dfrac{3}{16}.\dfrac{16}{3(ab+a+1)+3} \leq \sum \dfrac{3}{16}(\dfrac{3}{ab+a+1}+\dfrac{1}{3})=\dfrac{3}{16}.(\sum \dfrac{3}{ab+a+1})+\dfrac{3}{16}=\dfrac{9}{16}+\dfrac{3}{16}=\dfrac{12}{16}=\dfrac{3}{4}$ (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$

tìm GTNN của : $P=$ $\sqrt{(2010+x)^2}$ $\sqrt{(x-2011)^2}$

$P=\mid 2010+x\mid +\mid 2011-x\mid \geq \mid 2010+x+2011-x\mid =4021$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow (2010+x)(2011-x)\geq 0\Leftrightarrow -2010\leq x\leq 2011$

Cho phương trình $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn điều kiện $0\leq x_{1}\leq x_{2}\leq 2$ Tìm Max $Q=\frac{2a^{2}-3ab+b^{2}}{2a^{2}-ab+ac}$

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.

CMR: \frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq \frac{3}{2}. Dấu đẳng thức xẩy ra khi nào?

Ta có $\frac{a}{1+b^{2}}=\frac{a(1+b^{2})-ab^{2}}{1+b^{2}}=a-\frac{ab^{2}}{1+b^{2}}\geq a-\frac{ab}{2}$

Tương tự $\frac{b}{1+c^{2}}\geq b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^{2}}\geq c-\frac{ca}{2}$

Cộng vế $\frac{a}{1+b^{2}}+\frac{b}{1+c^{2}}+\frac{c}{1+a^{2}}\geq a+b+c-\frac{1}{2}(ab+bc+ca)\geq 3-\frac{1}{2}.3=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$