yeutoan2604

Cho: $(\sqrt{2013+x^{2}}+x).(\sqrt{2013+y^{2}}+y)=2013$. Hãy Tính tổng  x+y

Ta có $(\sqrt{2013+x^{2}}+x)(\sqrt{2013+x^{2}}-x)=2013\Rightarrow \sqrt{2013+x^{2}}-x=\sqrt{y^{2}+2013}+y$

Tương tự $\sqrt{y^{2}+2013}-y=\sqrt{x^{2}+2013}+x$

Trừ vế suy ra x+y=0

còn x=0 và y=2012 và ngược lại thì tính sao bạn

à mình quên xét thiếu TH đã fix

Tìm các số tự nhiên x, y thỏa mãn $\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{2012}$

TH1: ta thấy $(x;y)=(0;2012)(2012;0)$ là 2 nghiệm của pt

TH2: Ta có $\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\sqrt{503}$ mà x,y là các số tự nhiên nên $\sqrt{x}=\sqrt{503};\sqrt{y}=\sqrt{503}$$\Rightarrow x=y=503$

Cho $a,b,c\in \left [ 0,1 \right ]$ và $a+b+c=2$. Tìm Max $a^{2}+b^{2}+c^{2}$

Ta có $x(1-x)\geq 0\Leftrightarrow x\geq x^{2}$

Tương tự $y\geq y^{2};z\geq z^{2}$

Cộng vế ta có $x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq x+y+z=2$

Dấu "=" xảy ra khi (x;y;z)=(0;1;1),(1;0;1),(1;1;0)

Giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} x^{3}(y^{2}+3y+3)=3y^{2}\\ y^{3}(z^{2}+3z+3)=3z^{2} \\ z^{3}(x^{2}+3x+3)=3x^{2} \end{matrix}\right.$

Do $3y^2\geq 0,y^2+3y+3=(y+\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}> 0= > x^3\geq 0= > x\geq 0$.Tương tự $y\geq 0,z\geq 0$

-Nếu có ít nhất 1 số bằng $0$.Giả sử $x=0$.Từ pt đầu của hệ thì $3y^2=0= > y=0= > z=0$

-Nếu không có số nào bằng $0$.Chia 2 vế của mỗi phương trình ta được ;

 $\left\{\begin{matrix} (\frac{y^2+3y+3}{y^2})=(\frac{3}{x^3}) & & \\ (\frac{z^2+3z+3}{z^2})=(\frac{3}{y^3})& & \\ (\frac{x^2+3x+3}{x^2})=(\frac{3}{z^2})& & \end{matrix}\right.$

Do x,y,z có vai trò như nhau nên giả sử $x\geq y\geq z= > \frac{3}{x^3}\leq \frac{3}{z^3}= > \frac{y^2+3y+3}{y^2}\leq \frac{x^2+3x+3}{x^2}< = > 3x^2y+3x^2-3xy^2-3y^2\leq 0< = > 3(xy(x-y)+(x-y)(x+y))\leq 0< = > (x-y)(xy+x+y)\leq 0< = > x\leq y$(Do $x,y> 0= > xy+x+y> 0$)

Mà theo giả thiết thì $x\geq y$.Do đó đằng thức xảy ra tại $x=y$

Thay x=y vào pt thứ nhất của hệ thì $x^3(x^2+3x+3)=3x^2< = > x(x^2+3x+3)=3< = > x^3+3x^2+3x=3< = > (x+1)^3=4< = > x+1=\sqrt[3]{4}= > x=y=\sqrt[3]{4}-1$

Thay $x=\sqrt[3]{4}-1$ vào pt thứ (3) của hệ ta tìm được $z=\sqrt[3]{4}-1$

  Vậy nghiệm của hệ là $(x,y,z)=(0,0,0)=(\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1,\sqrt[3]{4}-1)$

Cho số thực x thỏa mãn điều kiện 0<x<1.CMR:

$\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq 3+$ $2\sqrt2$.Khi nào dấu "=" xảy ra

Áp dụng BĐT $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ ta có $\frac{2}{1-x}+\frac{1}{x}\geq \frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{1-x+x}=3+2\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{2}}{1-x}=\frac{1}{x}\Leftrightarrow x=\sqrt{2}-1$

169) Giả sử $x>z;y>z;z>0$. Cmr: $\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)}\leq \sqrt{xy}$

Áp dụng BĐT BCS ta có $(\sqrt{z(x-z)}+\sqrt{z(y-z)})^{2}\leq (z+y-z)(z+x-z)=xy\Rightarrow Q.E.D$

Với $x>1$ .Tìm $MinM=\frac{1+x^{4}}{x(x-1)(x+1)}$

Cho a, b > 0 và a + b = 1. Tìm GTNN của $P=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{a})^{2}$

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+(a+\frac{1}{b})^{2}+(b+\frac{1}{a})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}+\frac{1}{2}(a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{1}{2}(\frac{16}{(a+b)^{2}}+(1+\frac{4}{a+b})^{2})=\frac{41}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}$

Cho biểu thức $P=\frac{1}{2}-\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}-\frac{1}{x+y+z}$

Với giá trị nào của các số nguyên dương x,y,z thì P đạt giá trị dương bé nhất

cho mình hỏi điều kiện để BPT bậc 2 có nghiệm là gì ???

Cái này bạn lên google tìm kiếm nhé mình chịu

Đặt $S=x+2y\Rightarrow x=S-2y$

Xét 2 trường hợp:

a) Nếu $x^{2}+y^{2}>1$ thì từ giả thiết suy ra $x^{2}+y^{2}\leq x+y\Leftrightarrow (S-2y)^{2}+y^{2}\leq S-y\Leftrightarrow 5y^{2}-(4S-1)y+S^{2}-S\leq 0(1)$

Xem (1) là bất phương tình bậc 2 đối với , do hệ đã cho có nghiệm nên bất phương trình này phải có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta =(4S-1)^{2}-20(S^{2}-S)\geq 0\Leftrightarrow 4S^{2}-12S-1\leq 0\Rightarrow S\leq \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=\frac{5+2\sqrt{10}}{10}$ thỏa mãn $x^{2}+y^{2}>1$

Vậy trường hợp này GTLN của S là $\frac{3+\sqrt{10}}{2}$

b) Nếu $x^{2}+y^{2}<1\Rightarrow x+y\leq x^{2}+y^{2}\Rightarrow S=x+2y\leq x^{2}+y^{2}+y<1+1=2$ ( vì $x^{2}+y^{2}<1\Rightarrow y<1$ ) $\Rightarrow S< \frac{3+\sqrt{10}}{2}$

Tóm lại S đạt GTLN là $\frac{3+\sqrt{10}}{2}\Leftrightarrow x=\frac{5+2\sqrt{10}}{10}$ $y=\frac{10+3\sqrt{10}}{20}$

Cho a,b,c>0 $a+b+c=\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

Chứng minh $ab+bc+ca\leq 3$

1) Tìm GTNN của $A=x^2+y^2$ khi $x^2+y^2-xy=4$

 

2) tìm GTNN $A=\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}$

 

3) Tìm GTNN $P=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$

2) Áp dụng BĐt Cauchy ta có $\sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}\geq 2\sqrt[4]{x^{4}+x^{2}+1}\geq 2$

Đẳng thức xảy ra khi x=0

3) Ta có $2(x-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2x^{2}-4x+2\geq 0\Leftrightarrow 3x^{2}-3x+3\geq x^{2}+x+1\Leftrightarrow \frac{x^{2}-x+1}{x^{2}+x+1}\geq \frac{1}{3}$

Đẳng thức xảy ra khi x=1

Bạn nhân lên , rồi sử dụng phương pháp miền giá trị .

Cách đó thử rồi nhưng không được hay sao ấy