Bài 1: $2^{p}+2^{q}\vdots (pq). (*)$
Trường hợp 1: $p=q$
Thay vào (*) ta được $p^2 | 2.2^p$ suy ra $p=2$.
Trường hợp 2: $ p \ne q$.
Trường hợp 2.1: Một trong hai số $p,q$ bằng 2. Không mất tính tổng quát giả sử $q=2, p \ne 2$ Khi đó $2p |2^2+2^p \Rightarrow 2^2+2^p \equiv 0 (mod p)$ Mặt khác theo định lý Fermat, ta có:
$2^p \equiv 2 (mod p)$ $\Rightarrow 0 \equiv 2^2+2=2.3 (mod p)$ nên $p=3$. Kiểm tra trực tiếp thấy thỏa mãn vậy $(2,3), (3,2)$ thỏa mãn bài toán.
Trường hợp 2.2: $p \ne q, p,q \ne 2$. Theo định lí Fermat ta có:
$0 \equiv 2^p+2^q \equiv 2+2^q \equiv 2(1+2^{q-1}) (mod p) \Rightarrow p | 2(2^{q-1}+1) \Rightarrow p | 1+ 2^{q-1} (1) \Rightarrow 2^{2(q-1)} \equiv 1 (mod p)$
$\Rightarrow ord_p(2)| 2(q-1) \Rightarrow ord_p(2) | (2(q-1),p-1)=2(q-1,p-1)$. Do $p,q$ là hai số nguyên tố lẻ đặt:
$p-1=2^lm,q-1=2^kn$ trong đó $m, n$ là các số lẻ $k, l >0$. Khi đó $ord_p(2) | 2^{k+1}$ Như vậy $ord_p(2)=2^h ( 0 \le h \le k+1)$
Nếu $ 0 \le h \le k$ thì: $((2^{2^h})^{2^{k-h}})^m \equiv 1 (mod p)$ hay $2^{q-1}-1 \equiv 0 (mod p)$ Mâu thuẫn với (1).
Vậy $ord_p(2)=2^{k+1} \Rightarrow 2^{k+1} | \varphi (p)=p-1=2^lm \Rightarrow 2^{k+1}|2^l \Rightarrow k<l$. Tương tự ta chứng minh được $l < k$ (vô lí).
Kết luận $(p,q)=(2,2), (2,3), (3,2)$ thỏa mãn bài toán
Bài tương tự: Tìm $p,q$ nguyên tố sao cho $5^p+5^q \vdots pq$
Bài 2: bạn có thể xem lại đề không mình chỉ chứng minh được $n$ có dạng $3^k$
Cho hỏi lại đoạn này tí, nhỡ nó chứa cả ước lẻ thì sao ?
Còn bài 2 liệu đặt n như thế có được không ?Nhỡ nó có ước nguyên tố khác thì sao? Mình cũng đọc có sách ghi vậy nên thắc mắc.