maitram

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a, BC=2a, AA'=a$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AM = 3MD$. Tính thể tích khối chóp $M.AB'C$ và khoảng cách từ $M$ đến $(AB'C)$

 kkk.PNG   14.54K   70 Số lần tải

Pytago tính đuợc 3 cạnh $\Delta AMC$

$AC=a\sqrt {5}$ , $AM=\frac {3a}{2}$ , $MC=\frac {a\sqrt {5}}{2}$

Dùng công thức $Heron$ $\Rightarrow S_{AMC}=\frac {3a^{2}}{4}$

$V_{M.AB'C}=V_{B'.AMC}=\frac {a^{3}}{4}$

Mặt khác dùng công thức $Heron$ cũng tính được $S_{AB'C}=\frac {3a^{2}}{2}$

$\Rightarrow d(M,(AB'C))=\frac {3.V_{M.AB'C}}{S_{AB'C}}=\frac {a}{2}$

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $a$, đường cao bằng $h$. Tìm điều kiện của "a" và "h" để $(SAB)$  vuông $(SAC)$

 ggg.PNG   14.89K   73 Số lần tải

Gọi $BM$ là đường cao $\Delta SAB$ , $I$ là trung điểm $AC$

Ta có

$(SAB)\perp (SAC)$ $\Leftrightarrow BM\perp (SAC)$

$\Leftrightarrow AC\perp (BMI)$

$\Leftrightarrow AC\perp IM$ tại $I$  $(1)$

Mà ta lại chứng minh được $AC\perp SI$ tại $I$

Nên $(1)\Leftrightarrow M\equiv S$

$\Leftrightarrow \Delta SAB$ vuông tại $S$

Dùng Pytago cho $\Delta SAB$ tìm được mối liên hệ giữa $a$ và $h$

Cho hinh chóp SABCD đáy là ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB, mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) tạo vs nhau 1 góc 60 độ . Tính thể tích hình chóp SABCD, tính cosin giưa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Mình chỉ tính được thể tích chóp thôi, bạn nào biết tìm góc giữa $(SBC)$ và $(SCD)$ thì tìm giùm mình nha!

Mình mạn phép vẽ lại hình vì ít ai vẽ đường cao khối chóp nằm phía sau như hình của bạn @thanhthanhtoan, hơi khó nhìn một chút, với lại người ta có cho $\widehat {BAD}=60$ nên đặt $A$ là góc nhọn thì hợp lý hơn.

 jjj.PNG   16.18K   70 Số lần tải

Gọi $H\in (SCD)$ sao cho $BH\perp (SCD)$ (mình không xác định được vị trí chính xác của $H$, chỉ vẽ đại thôi)

Chứng minh được $\Delta SCD$ vuông tại $D$

Dễ dàng tính được $BH$ thông qua thể tích

$V_{SBCD}=\frac {1}{3}.SI.S_{BCD}=\frac {1}{3}.BH.S_{SCD}$

$\Rightarrow BH=\frac {3a}{2\sqrt {7}}$

Từ $H$ dựng $HM\perp SC$

Dễ dàng chứng minh được $\widehat {(SBC),(SCD)}=\widehat {BMH}$

Dùng Pytago tính được 3 cạnh $\Delta SBC$

$SB=\frac {a\sqrt{13}}{4}$ , $SC=\frac {a\sqrt {37}}{4}$ , $BC=a$

Dùng công thức $Heron$ $\Rightarrow S_{SBC}=\frac {a^{2}\sqrt {3}}{4}$

Mặt khác $S_{SBC}=\frac {1}{2}.BM.SC$

$\Rightarrow BM=\frac {2a\sqrt {3}}{\sqrt {37}}$

Pytago $\Rightarrow MH=\frac {a\sqrt{3}}{2\sqrt{259}}$

$\Rightarrow cos \widehat {BMH}=\frac {MH}{BM}=\frac {1}{4\sqrt {7}}$

Cho hình chóp SABC, AB=BC=a. goc ABC = 90. SA vuông (ABC), góc giữa (SAC) và (SBC) = 60. M,N là hình chiếu của A trên SB,SC. Tính V của SAMN

 hhh.PNG   13.79K   166 Số lần tải

Dễ dàng chứng minh được $\widehat {(SAC),(SBC)}=\widehat {ANM}=60$

Đặt $SA=x$

Dùng hệ thức lượng $\frac {1}{AM^{2}}=\frac {1}{SA^{2}}+\frac {1}{AB^{2}}$

$\Rightarrow AM=\frac {ax}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$

Tương tự $\Rightarrow AN=\frac {\sqrt {2}.ax}{\sqrt {x^{2}+2a^{2}}}$

$\Delta AMN$ vuông tại $M$ $\Rightarrow sin60=\frac {AM}{AN}$

Tính được $x=a$ $\Rightarrow SA=a$

Phần tính thể tích thì dễ rồi bạn tự tính nha.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng cách từ $O$ đến mặt bên là $d$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$?

 iii.PNG   18.72K   70 Số lần tải

$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $O$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$

Dễ dàng chứng minh được $d(O,(SCD))=OH=d$ với $OH$ là đường cao $\Delta SOM$, $M$ là trung điểm $CD$

Đặt $BC=x$ $\Rightarrow OM=\frac{x}{2}$, $SM=\frac{x\sqrt{3}}{2}$

Pytago cho $\Delta SOM$ $\Rightarrow$ $SO=\frac{x}{\sqrt{2}}$

Dùng hệ thức lượng $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{SO^{2}}+\frac{1}{OM^{2}}$

$\Rightarrow x=d\sqrt{6}$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.6d^{2}.d\sqrt{3}=2\sqrt{3}d^{3}$