maitram

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB=a, BC=2a, AA'=a$. Lấy điểm $M$ trên cạnh $AD$ sao cho $AM = 3MD$. Tính thể tích khối chóp $M.AB'C$ và khoảng cách từ $M$ đến $(AB'C)$

Pytago tính đuợc 3 cạnh $\Delta AMC$

$AC=a\sqrt {5}$ , $AM=\frac {3a}{2}$ , $MC=\frac {a\sqrt {5}}{2}$

Dùng công thức $Heron$ $\Rightarrow S_{AMC}=\frac {3a^{2}}{4}$

$V_{M.AB'C}=V_{B'.AMC}=\frac {a^{3}}{4}$

Mặt khác dùng công thức $Heron$ cũng tính được $S_{AB'C}=\frac {3a^{2}}{2}$

$\Rightarrow d(M,(AB'C))=\frac {3.V_{M.AB'C}}{S_{AB'C}}=\frac {a}{2}$

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng $a$, đường cao bằng $h$. Tìm điều kiện của "a" và "h" để $(SAB)$  vuông $(SAC)$

Gọi $BM$ là đường cao $\Delta SAB$ , $I$ là trung điểm $AC$

Ta có

$(SAB)\perp (SAC)$ $\Leftrightarrow BM\perp (SAC)$

$\Leftrightarrow AC\perp (BMI)$

$\Leftrightarrow AC\perp IM$ tại $I$  $(1)$

Mà ta lại chứng minh được $AC\perp SI$ tại $I$

Nên $(1)\Leftrightarrow M\equiv S$

$\Leftrightarrow \Delta SAB$ vuông tại $S$

Dùng Pytago cho $\Delta SAB$ tìm được mối liên hệ giữa $a$ và $h$

Cho hinh chóp SABCD đáy là ABCD là hình thoi cạnh a, góc BAD= 60. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của đoạn AB, mặt phẳng (SBC) và ( ABCD) tạo vs nhau 1 góc 60 độ . Tính thể tích hình chóp SABCD, tính cosin giưa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD)

Mình chỉ tính được thể tích chóp thôi, bạn nào biết tìm góc giữa $(SBC)$ và $(SCD)$ thì tìm giùm mình nha!

Mình mạn phép vẽ lại hình vì ít ai vẽ đường cao khối chóp nằm phía sau như hình của bạn @thanhthanhtoan, hơi khó nhìn một chút, với lại người ta có cho $\widehat {BAD}=60$ nên đặt $A$ là góc nhọn thì hợp lý hơn.

Gọi $H\in (SCD)$ sao cho $BH\perp (SCD)$ (mình không xác định được vị trí chính xác của $H$, chỉ vẽ đại thôi)

Chứng minh được $\Delta SCD$ vuông tại $D$

Dễ dàng tính được $BH$ thông qua thể tích

$V_{SBCD}=\frac {1}{3}.SI.S_{BCD}=\frac {1}{3}.BH.S_{SCD}$

$\Rightarrow BH=\frac {3a}{2\sqrt {7}}$

Từ $H$ dựng $HM\perp SC$

Dễ dàng chứng minh được $\widehat {(SBC),(SCD)}=\widehat {BMH}$

Dùng Pytago tính được 3 cạnh $\Delta SBC$

$SB=\frac {a\sqrt{13}}{4}$ , $SC=\frac {a\sqrt {37}}{4}$ , $BC=a$

Dùng công thức $Heron$ $\Rightarrow S_{SBC}=\frac {a^{2}\sqrt {3}}{4}$

Mặt khác $S_{SBC}=\frac {1}{2}.BM.SC$

$\Rightarrow BM=\frac {2a\sqrt {3}}{\sqrt {37}}$

Pytago $\Rightarrow MH=\frac {a\sqrt{3}}{2\sqrt{259}}$

$\Rightarrow cos \widehat {BMH}=\frac {MH}{BM}=\frac {1}{4\sqrt {7}}$

Cho hình chóp SABC, AB=BC=a. goc ABC = 90. SA vuông (ABC), góc giữa (SAC) và (SBC) = 60. M,N là hình chiếu của A trên SB,SC. Tính V của SAMN

Dễ dàng chứng minh được $\widehat {(SAC),(SBC)}=\widehat {ANM}=60$

Đặt $SA=x$

Dùng hệ thức lượng $\frac {1}{AM^{2}}=\frac {1}{SA^{2}}+\frac {1}{AB^{2}}$

$\Rightarrow AM=\frac {ax}{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}$

Tương tự $\Rightarrow AN=\frac {\sqrt {2}.ax}{\sqrt {x^{2}+2a^{2}}}$

$\Delta AMN$ vuông tại $M$ $\Rightarrow sin60=\frac {AM}{AN}$

Tính được $x=a$ $\Rightarrow SA=a$

Phần tính thể tích thì dễ rồi bạn tự tính nha.

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Biết mặt bên của hình chóp là tam giác đều và khoảng cách từ $O$ đến mặt bên là $d$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$?

$S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều nên $ABCD$ là hình vuông và $O$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$

Dễ dàng chứng minh được $d(O,(SCD))=OH=d$ với $OH$ là đường cao $\Delta SOM$, $M$ là trung điểm $CD$

Đặt $BC=x$ $\Rightarrow OM=\frac{x}{2}$, $SM=\frac{x\sqrt{3}}{2}$

Pytago cho $\Delta SOM$ $\Rightarrow$ $SO=\frac{x}{\sqrt{2}}$

Dùng hệ thức lượng $\frac{1}{OH^{2}}=\frac{1}{SO^{2}}+\frac{1}{OM^{2}}$

$\Rightarrow x=d\sqrt{6}$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.6d^{2}.d\sqrt{3}=2\sqrt{3}d^{3}$

với $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 &1 \\ -1 &2 &1 \\ -2&3 &1 \end{bmatrix}$ và  $B=\begin{bmatrix} 1 &1 &1 &-1 \\ 1& 0 &2 &2 \\ 1& -2 & 2 & 0 \end{bmatrix}$

Tính được $detA=1$ => $A$ khả đảo

$A^{-1}=\begin{pmatrix} -1 &4 &-3 \\ -1 &3 &-2 \\ 1 &-1 &1 \end{pmatrix}$

*$AX=B$

$\Rightarrow X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} -1 &4 &-3 \\ -1 &3 &-2 \\ 1 &-1 &1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 &1 &1 &-1 \\ 1 &0 &2 &2 \\ 1 &-2 &2 &0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &5 &1 &9 \\ 0 &3 &1 &7 \\ 1 &-1 &1 &-3 \end{pmatrix}$

      Hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tại A,B ;AB=BC=a, AD=2a. E thuộc AD với

 

AD=4AE. (SBE) & (SCE) đều vuông góc vs (ABCD). Góc giữa (SCD) & (ABCD)=45*.

 

a) d(S,(ABCD)) ;

 

b) d(B,(SAC)). 

      Giúp mình giải bài này với các bạn  ! Help me! 

Dễ dàng chứng minh được $SE\perp (ABCD)$

Gọi $I$ là trung điểm $AD$

Dễ dàng chứng minh được $\Delta ACD$ nội tiếp đường tròn tâm $I$ bán kính $a$

=> $\Delta ACD$ vuông tại $C$

Dựng $EH\parallel AC$   ($H\in CD$)

$\Rightarrow \widehat{(SCD),(ABCD)}=\widehat{EHS}=45^{\circ}$

a/ $d(S,(ABCD))$

Pytago => $AC=a\sqrt {2}$

Talet => $EH=\frac{3}{4}AC=\frac {3a\sqrt {2}}{4}$

$\Rightarrow SE=d(S,(ABCD))=tan45^{\circ}.EH=\frac {3a\sqrt {2}}{4}$

b/ $d(B,(SAC))$

$V_{S.ABCD}=\frac {1}{3}.SE.S_{ABCD}=\frac {3a^{3}\sqrt {2}}{8}$

$V_{S.ACD}=\frac {1}{3}.SE.S_{ACD}=\frac {a^{3}\sqrt {2}}{4}$

$\Rightarrow V_{S.ABC}=\frac {a^{3}\sqrt {2}}{8}$     $(1)$

Dễ dàng tính được các cạnh của $\Delta SAC$

$SA=\frac {a\sqrt {11}}{\sqrt {8}}$, $SC=\frac {a\sqrt {19}}{\sqrt{8}}$ , $AC=a\sqrt {2}$

Dùng công thức $Heron$ tính được $S_{SAC}=\frac {a^{2}\sqrt{10}}{4}$     $(2)$

$(1),(2)$ $\Rightarrow d(B,(SAC))=\frac {3a}{\sqrt{20}}$

Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D. Tam giác SAD đều cạnh 4a. BC=6a. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Hình chiếu S của chóp thuộc miền trong đa giác đáy. Tính thể tích chóp.

* Dựng hình

Gọi $I$ là trung điểm $AD$, trong $(ABCD)$ dựng $IJ\parallel AB$     ($J\in BC$)

Gọi $O\in IJ$ sao cho $IO=2a$

Dựng $SO\perp (ABCD)$

Trong $(ABCD)$, qua $O$ dựng $EF\parallel AD$    ( $E\in AB$, $F\in CD$ )

Dễ dàng chứng minh được $AEOI$, $IOFD$ là các hình vuông

$\Rightarrow OI=OE=OF=2a$

Trong $\Delta OBC$ dựng đường cao $OH$ sao cho $OH=2a$

$\Rightarrow \angle OIS=\angle OES=\angle OFS=\angle OHS$ thỏa các mặt bên nghiêng đều với đáy

* Tính thể tích

$\Delta SAD$ đều $\Rightarrow SI=2a\sqrt {3}$

Pytago $\Rightarrow SO=2a\sqrt {2}$

Đặt $EB=x$, $FC=y$

Dễ thấy $\Delta EHF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ bán kính $2a$

=> $\Delta EHF$ vuông tại $H$

=> Dễ dàng chứng minh được $\Delta BOC$ vuông tại $O$

Ta có :

$S_{BEFC}=S_{OEB}+S_{OFC}+S_{OBC}$

$\Rightarrow (x+y).2a=ax+ay+6a^{2}$

$\Rightarrow x+y=6a$ $\Rightarrow AB+CD=10a$

$V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.2a\sqrt {2}.\frac{10a.4a}{2}=\frac{40a^{3}\sqrt {2}}{3}$

Cám ơn  bạn nhé!

 

Tại sao $\frac{BK}{BB'}=\frac{BH}{B'H}$ vậy bạn?

Thì $S_{BB'H}=\frac{1}{2}BB'.BH=\frac{1}{2}BK.B'H$

$\Rightarrow \frac{BK}{BB'}=\frac{BH}{B'H}$

Quả nhiên là kết quả như nhau bạn à, làm cách này nhanh thiệt. Cảm ơn bạn nhiều nhé!

 

Nhưng mà dựa vào đâu để biết $cos\widehat{(AB'I),(ABC)}=\frac{S_{ABC}}{S_{AB'I}}$, chứ không phải = $\frac{S_{AB'I}}{S_{ABC}}$, hay do (ABC) là hình chiếu của (AB'I) ?

 

Bạn có tài liệu liên quan đến dạng -tỉ lệ diện tích này ko, share cho mình với? Mình tìm trên mạng mà không thấy, mình cảm ơn nhiều!

Mình nghĩ cái này chắc không có tài liệu đâu, tự mình chứng minh ra thôi. Mình nhớ hồi xưa thầy mình có nói là chỉ khi nào tính diện tích 2 tam giác khó khăn (phải dùng công thức Heron) thì mới được dùng thẳng công thức này để tính cos, còn bài này thì tính diện tích tam giác dễ nên phải chứng minh lại công thức. Công thức này chứng minh cũng đơn giản

Từ hình của bạn, dựng $BK\perp B'H$

Dễ dàng chứng minh được $d(B,(AB'I))=BK$

Ta có

$V_{B'.ABC}=\frac{1}{3}.d(B',(ABC)).S_{ABC}=\frac{1}{3}.BB'.S_{ABC}$

$V_{B.AB'I}=\frac{1}{3}.d(B,(AB'I)).S_{AB'I}=\frac{1}{3}.BK.S_{AB'I}$

Dễ thấy $V_{B'.ABC}=V_{B.AB'I}=\frac{1}{2}.V_{B'.ABJ}$

$\Rightarrow \frac{S_{ABC}}{S_{AB'I}}=\frac{BK}{BB'}=\frac{BH}{B'H}=cos\widehat{(AB'I),(ABC)}$

Phần $100.c_{1}+10.c_{2}+c_{3}$ là sao mình chưa hiểu? Làm vậy định thức ko thay đổi à

Đúng rồi bạn, có hệ quả là : Khi nhân 1 hàng (cột) của $A$ với 1 số bất kì rồi cộng vào hàng (cột) khác của $A$ thì định thức của nó không đổi

Cái này là mình gộp từ 2 phép biến đổi trên cột

$100.c_{1}+c_{3}\rightarrow c_{3}$

$10.c_{2}+c_{3}\rightarrow c_{3}$

Biết rằng các số 204,527,255 chia hết cho 17 .Hãy chứng minh $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 4\\ 5 &2 & 7\\2 &5 &5 \end{vmatrix}$ chia hết cho 17

$100.c_{1}+10.c_{2}+c_{3}\rightarrow c_{3}$

$\begin{vmatrix} 2 &0 &4 \\ 5 &2 &7 \\ 2 &5 &5 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 &0 &204 \\ 5 &2 &527 \\ 2 &5 &255 \end{vmatrix}=17.\begin{vmatrix} 2 &0 &12 \\ 5 &2 &31 \\ 2 &5 &15 \end{vmatrix}$

=>Đpcm

Cho chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, SA = $a\sqrt{3}, SA\perp (ABCD)$. Tính cosin (SB, AC).

Mình đã làm như sau:

 

Trong (SBD), từ O mình kẻ OM // SB (M là trung điểm SD), suy ra $\widehat{(SB, AC)}=\widehat{(OM, AC)}$

 

Nhưng cặp OM và OA hoặc OM và OC mình không tìm thấy nó nằm trong cùng 1 tam giác vuông nào nên không thể tính Cosin được?

Bài này thì không cần kẻ đường cao đâu bạn. Chỉ cần áp dụng định lý cos cho $\Delta COM$ là được thôi mà.

$MC^{2}=OM^{2}+OC^{2}-2OM.OC.cos\widehat{COM}$

Nếu tính được $\widehat{COM}> 90^{\circ}$ (tức là $cos$ ra số âm) thì lấy phần bù là xong

Các bạn giải tiếp giùm mình bài này với:

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C', có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a, $\widehat{BAC}$=120⁰ , cạnh  bên BB'=a. I là trung điểm CC'. Chứng minh tam giác AB'I vuông tại A (câu này mình làm đc rồi) và tính cosin của góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (AB'I)

 

Không biết bài này áp dụng tỉ lệ thể tích - tỉ lệ diên tích thì làm như thế nào? Có bạn nào biết chỉ mình với? Còn mình giải theo cách bình thường như sau:

 

$BC\bigcap BI=J \Rightarrow (ABC)\bigcap (AB'I)=AJ$

$Trong (ABC): kẻ BH vuông JA

Trong (AB'I) Ta  cm  được B'H vuông JA$

$\Rightarrow cos\widehat{[(ABC),(AB'I)]= cos\widehat{BHB'}}= \frac{BH}{B'H}$

 

Các bạn giúp mình tính BH và B'H nhé!

Mình nghĩ bài làm của bạn vậy là gọn gàng và đẹp rồi, có lẽ không giúp được bạn dùng tỉ lệ thể tích để tính cos góc 2 mặt phẳng nhưng mình có thể giúp bạn tính $BH$, $B'H'$

Dùng định lí cos cho $\Delta ABC$ tính được $CJ=BC=a\sqrt{3}$

Tính được $S_{ACJ}=\frac {1}{2}AC.CJ.sin\widehat{ACJ}=\frac {a^{2}\sqrt{3}}{4}$

Cũng dùng định lí cos cho $\Delta ACJ$ tính được $AJ=a\sqrt{7}$

Dựng $CK$ là đường cao $\Delta ACJ$

Mặt khác ta có: $S_{ACJ}=\frac {1}{2}CK.AJ$ $\Rightarrow CK=\frac {a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$\Rightarrow BH=2CK=\frac {a\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Pytago => $B'H'$ rồi tính $cos\widehat{BHB'}$

Bạn có thể nói rõ tại sao lại có điều này không? Bạn có thể chứng minh không?

Em xin lỗi, trí nhớ em tồi quá! Công thức tỉ lệ thể tích đó chỉ đúng cho khối chóp tam giác thôi. Cám ơn bạn /anh nhiều nha.

Em xin làm lại chỗ này

Xét khối chóp $S.ABC$

Ta có : $\frac{V_{S.AB'M}}{V_{S.ABC}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SB'}{SB}.\frac{SM}{SC}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow V_{S.AB'M}=\frac{1}{3}.V_{S.ABC}$   $(1)$

Tương tự :

$V_{S.AMD'}=\frac{1}{3}.V_{S.ACD}$    $(2)$

$(1)$ + $(2)$ $\Rightarrow V_{S.AB'MD'}=\frac{1}{3}.V_{S.ABCD}$

$\Rightarrow \frac{V_{S.AB'MD'}}{V_{AB'MD'BCD}}=\frac{1}{2}$